Question

3．阅读理解：对于任意正实数a，b，因为（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²≥0，∴a-2$\sqrt{ab}$+b≥0，∴a+b≥2$\sqrt{ab}$，当且仅当a=b时，等号成立．结论：在a+b≥2$\sqrt{ab}$（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2$\sqrt{p}$，当且仅当a=b时，a+b有最小值2$\sqrt{p}$．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若x＞0，只有当x=2时，x+$\frac{4}{x}$有最小值4；
（2）探索应用：如图，已知A（-2，0），B（0，-3），点P为双曲线y=$\frac{6}{x}$（x＞0）上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．

Answer 1

分析 （1）根据题目所给信息可知x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$，且当x=$\frac{4}{x}$时等号成立，可得出答案；
（2）可设P（x，y），可表示出四边形ABCD的面积为S_{四边形ABCD}=6+$\frac{3}{2}x+y$，再利用所给信息可得到其最小值，此时x=2，y=3，可得出AC=BD，可得出四边形ABCD为菱形．

解答 解：
（1）由题目信息可知x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$，且当x=$\frac{4}{x}$时等号成立，
∴当x=2时，x+$\frac{4}{x}$≥4，
即当x=2时，x+$\frac{4}{x}$有最小值4，
故答案为：2；4；
（2）设P（x，y）（x＞0），则xy=6，
∵A（-2，0），B（0，-3），
∴AC=x+2，BD=y+3，
∴S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$（x+2）（y+3）=$\frac{1}{2}$（xy+3x+2y+6）=6+$\frac{3}{2}$x+y，
∵x＞0，y＞0，
∴$\frac{3}{2}$x+y≥2$\sqrt{\frac{3}{2}xy}$=2×$\sqrt{\frac{3}{2}×6}$=6，且当$\frac{3}{2}x$=y时等号成立，
∴当x=2，y=3时，$\frac{3}{2}$x+y有最小值6，
∴当x=2，y=3时，S_{四边形ABCD}有最小值6+6=12，
当x=2，y=3时，AO=CO，BO=DO，且AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形，
综上可知四边形ABCD的面积的最小值为12，此时四边形ABCD为菱形．

点评 本题主要考查反比例函数的综合应用，涉及反比例函数解析式、菱形的判定、四边形的面积等知识点和探究问题的能力．在（1）中关键是通过对题目信息的把握，把知识应用到题目的解决中来，在（2）中关键是设出P点坐标，用x、y把四边形ABCD的面积表示出来，再利用题目中的结论来解决．本题为阅读理解题，这类题目主要考查学生把握信息和处理信息的能力，难度不大．