Question

8．如图，在平面直角坐标系中，经过原点的圆P交坐标轴于点A，B，过点P作AB的垂线交圆P于点C，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点C．若OB-OA=4，则k的值为-4．

Answer 1

分析 连接AC，BC，过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，由CP垂直平分AB，得到CA=CB，利用同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用AAS得到三角形ADC与三角形BEC全等，利用全等三角形对应边相等得到AD=BE，CD=CE，得出C横纵坐标绝对值相等，设为（m，-m），由OB-OA=4，设OA=a，得出OB=a+4，由AD=BE求出m的值，确定出C坐标，代入反比例解析式求出k的值即可．

解答 解：连接AC，BC，过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，
∵P为AB的中点，且CP⊥AB，即CP垂直平分AB，
∴AC=BC，
∵∠DAC与∠EBC都对$\widehat{OC}$，
∴∠DAC=∠EBC，
在△ADC和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BEC=90°}\\{∠DAC=∠EBC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BEC（AAS），
∴CD=CE，AD=BE，
设C（m，-m），由OB-OA=4，设OA=a，则有OB=a+4，
∵AD=OA+OD=a+m，BE=OB-OE=a+4-m，
∴a+m=a+4-m，
解得：m=2，即C（2，-2），
把C坐标代入反比例解析式得：k=-4，
故答案为：-4

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：线段垂直平分线定理，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，以及待定系数法确定反比例解析式，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．