Question

18．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON，分别交边AB、BC于点E、F．
（1）求证：0E=OF；
（2）若正方形的边长为4，求EF的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质可得∠EAO=∠FBO=45°，OA=OB，再根据同角的余角相等可得∠AOE=∠BOE，然后利用“角边角”证明△AOE和△BOF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）根据等腰直角三角形△EOF，当OE最小时，再根据勾股定理得出EF的最小值．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOB=90°，∠EAO=∠FBO=45°，
∴∠AOE+∠BOE=90°，
∵OE⊥OF，
∴∠BOF+∠BOE=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE与△BOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠BOF}\\{OA=OB}\\{∠EAO=∠FBO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴OE=OF；
（2）由（1）可知，△EOF是等腰直角三角形，∠EOF是直角，当OE最小时，EF的值最小，
∵OA=OB，OE⊥AB，
∴点E是AB的中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=4，
∴OE=2，
∴EF=$\sqrt{O{E}^{2}+O{F}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{2}$，
即EF的最小值是2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．正确作出辅助线是关键．