Question

13．如图，E是?ABCD的边BC的中点，AC⊥AB，∠B=60°．则下列结论中正确的是①②④．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①AD=2AB；②DF平分∠ADC；③S_△ADE=2S_△CDF；④AE⊥DE．

Answer 1

分析 由E是?ABCD的边BC的中点，AC⊥AB，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得AE=BE=CE=$\frac{1}{2}$BC，又由∠B=60°，可证得△ABE是等边三角形，即可证得AD=2AB；易求得∠CDA=∠B=60°，则可得DF平分∠ADC，由BE=CE，AD∥BC，可得S_△ABE=S_△DEC，然后由等高三角形的面积比等于对应底的比，求得S_△ADE=$\frac{3}{2}$S_△CDF；易得∠DAE=∠AEB=60°，∠ADE=30°，证得∠AED=90°．

解答 解：∵E是?ABCD的边BC的中点，AC⊥AB，
∴AE=BE=CE=$\frac{1}{2}$BC，
∵∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=BE，
∴BC=2AB；故①正确；
∵∠B=60°，
∴∠ECD=120°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=30°，
∵∠CDA=∠B=60°，
∴DF平分∠ADC，故②正确；
∵BE=CE，AD∥BC，
∴S_△ABE=S_△DEC，
∵∠ACE=∠DEC=30°，
∴EF=CF，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△CEF，
∴CF：AF=EC：AD=1：2，
∴EF=CF=$\frac{1}{2}$AF，
∴S_△CDF=$\frac{1}{2}$S_△ADF，S_△CDF=S_△AEF，
∴S_△ADE=$\frac{3}{2}$S_△CDF；故③错误；
∵∠DAE=∠AEB=60°，∠ADE=30°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥DE，故④正确．
故答案为：①②④．

点评 此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的对应边成比例以及等高三角形的面积比等于对应底的比．