Question

17．已知函数y=y₁+y₂，其中y₁与x+1成反比例，y₂与x²成正比例，当x=1时，y=2，当x=0时，y=2．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求x的取值范围；
（3）当x=-5和x=3时，函数y的值是多少？

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数与正比例函数定义可设y₁=$\frac{a}{x+1}$，y₂=bx²，则y=$\frac{a}{x+1}$+bx²，再把两组对应值分别代入得到a和b的方程组，解方程组求出a和b即可得到y与x的函数关系式；
（2）利用分母不为零即可得到x的取值范围；
（3）把x=-5和x=3分别代入（1）中的函数关系式中可计算对应的y的值．

解答 解：（1）设y₁=$\frac{a}{x+1}$，y₂=bx²，则y=$\frac{a}{x+1}$+bx²，
把x=1，y=2；x=0，y=2分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}+b=2}\\{a=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\end{array}\right.$，
所以y与x的函数关系式为y=$\frac{2}{x+1}$+x²；
（2）x+1≠0，即x≠-1；
（3）当x=-5时，y=$\frac{2}{x+1}$+x²=$\frac{2}{-5+1}$+（-5）²=24.5；
当x=3，y=$\frac{2}{x+1}$+x²=$\frac{2}{3+1}$+3²=9.5．

点评 本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）；把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式．