Question

2．直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+c与x轴交于另一点A，线段BC与抛物线的对称轴1相交于点D，设抛物线的顶点为P，连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）在y轴上找一点Q，使Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等，求出点Q的坐标．
（3）将∠CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴I相交于点N，
①若DM=2DN，求点M的坐标．
②当EN⊥ED时，求线段MN的长．

Answer 1

分析 （1）由直线解析式可先求得B、C两点的坐标，代入抛物线解析式可求得b、c，可求得抛物线的解析式；
（2）△OBC中利用三角函数可求得∠OBC=30°，可求得∠ADP=120°，进一步可求得D点坐标，求出AD=4，则可在y轴上找点Q，使CQ=4，满足条件，可求得Q点坐标；
（3）①分点M在线段CD上和在线段DE上两种情况分别讨论，当M在线段CD上时，根据条件可得出△CEM≌△DEN，可求得CD，过点M作y轴的垂线，垂足为点G，利用三角函数可求得CG和MG的长，可求得M点坐标；当M在线段DE上时，DN＞DM，不满足条件；
②由条件可证明△ENM为等边三角形，可得到MN=EN，在△END中由三角函数可求得EN，可求得线段MN的长．

解答 解：（1）∵y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3与x轴、y轴分别交于B、C 两点，
∴B（3$\sqrt{3}$，0）、C（0，3），
∵抛物线y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+c经过B（3$\sqrt{3}$，0）、C（0，3）两点，
代入可求得b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，c=3，
∴抛物线的解析式：y=$-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+3$．
（2）如图1，由y=$-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+3$得对称轴I方程为x=$\sqrt{3}$，

∵B（3$\sqrt{3}$，0）、C（0，3），
∴tan∠OBC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OBC═30°．
由轴对称的性质和三角形外角性质，可得∠ADP═120°，
由锐角三角函数可得点D的坐标为（$\sqrt{3}$，2）．
∴DP=CD=2，AD=4．
在y轴正方向上取点Q，且CQ=4，
∴△QCD≌△ADP，
∴Q的坐标为（0，7）．
（3）①当点M在线段CD上时，又（2）知，可得△CED为等边三角形，进一步可证△CEM≌△DEN，
∴CM=DN，
∵DM=2DN，
∴DM=2CM，
∴CD=2，
∴CM=$\frac{2}{3}$，DM=$\frac{4}{3}$，
如图2，过点M作y轴的垂线，垂足为点G，

则CG=CDcos60°=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$，
MG=CMcos30°=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OG=OC-CG=3-$\frac{1}{3}$=$\frac{8}{3}$，
∴M（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{8}{3}$）
当点M在线段BD上时，同理可证△CEM≌△DEN，
∴CM=DN，且CM=CD+DM，
∴DN＞DM，
∴不存在DM=2DN，
综上可知M点坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{8}{3}$）；
②当NE⊥ED时，如图3，

∵△CEM≌△DEN，
∴CM=DN，∠NEM=60°，
∴△ENM为等边三角形，
∴MN=EN，
在△END中，EN=EDtan60°=2×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴MN=2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角函数的定义等知识点．在（1）中掌握待定系数法的应用，在（2）中求得D点坐标得到AD的长是解题的关键，在（3）中注意等边三角形的性质和全等三角形的性质的应用．本题涉及知识点较多，综合性很强，难度很大．