Question

如图，直线l₁⊥x轴于点A（2，0），点B是直线l₁上的动点．直线l₂：y=x+1交l₁于点C，过点B作直线l₃垂直于l₂，垂足为D，过点O，B的直线l₄交l₂于点E，当直线l₁，l₂，l₃能围成三角形时，设该三角形面积为S₁，当直线l₂，l₃，l₄能围成三角形时，设该三角形面积为S₂．
（1）若点B在线段AC上，且S₁=S₂，则B点坐标为______；
（2）若点B在直线l₁上，且S₂=

3

S₁，则∠BOA的度数为______．

Answer 1

（1）设B的坐标是（2，m），
∵直线l₂：y=x+1交l₁于点C，
∴∠ACE=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
BC=|3-m|，
则BD=CD=

2

2

BC=

2

2

|3-m|，
S₁=

1

2

×（

2

2

|3-m|）²=

1

4

（3-m）²．
设直线l₄的解析式是y=kx，过点B，
则2k=m，解得：k=

m

2

，
则直线l₄的解析式是y=

m

2

x．
根据题意得：

y= m 2 x y=x+1

，解得：

x= 2 m-2 y= m m-2

，
则E的坐标是（

2

m-2

，

m

m-2

）．
S_△BCE=

1

2

BC•|

2

m-2

-2|=

1

2

|3-m|•|

6-2m

m-2

|=

(3-m)2

|m-2|

．
∴S₂=S_△BCE-S₁=

(3-m)2

|m-2|

-

1

4

（3-m）^2_．
当S₁=S₂时，

(3-m)2

|m-2|

-

1

4

（3-m）²=

1

4

（3-m）²．
解得：m₁=4或m₂=0，
易得点C坐标为（2，3），即AC=3，
∵点B在线段AC上，
∴m₁=4不合题意舍去，
则B的坐标是（2，0）；

（2）分三种情况：
①当点B在线段AC上时
当S₂=

3

S₁时，

(3-m)2

|m-2|

-

1

4

（3-m）²=

3

4

（3-m）²．
解得：m=4-2

3

或2

3

（不在线段AC上，舍去），或m=3（l2和l4重合，舍去）．
则AB=4-2

3

．
在OA上取点F，使OF=BF，连接BF，设OF=BF=x．
则AF=2-x，根据勾股定理，x2=(2-x)2+(4-2

3

)2，
解得：x=8-4

3

，
∴sin∠BFA=

4-2 3

8-4 3

=

1

2

，
∴∠BFA=30°，
∴∠BOA=15°；

②当点B在AC延长线上时，
此时，S2=S△BCE+S1=

(3-m)2

|m-2|

+

1

4

(3-m)2
当S₂=

3

S₁时，得：

(3-m)2

|m-2|

+

1

4

(3-m)2=

3

?

1

4

(3-m)2，
解得符合题意有：AB=4+2

3

．
在AB上取点G，使BG=OG，连接OG，设BG=OG=x，
则AG=4+2

3

-x．根据勾股定理，得x2=(4+2

3

-x)2+22，
解得：x=4，
∴sin∠OGA=

2

4

=

1

2

，
∴∠OGA=30°，
∴∠OBA=15°，
∴∠BOA=75°；

③当点B在CA延长线上时
此时，S2=S1-S△BCE=

1

4

(3-m)2-

(3-m)2

|m-2|

，
当S₂=

3

S₁时，得：

1

4

(3-m)2-

(3-m)2

|m-2|

=

3

?

1

4

(3-m)2，
解得：m=3（l₂和l₄重合，舍去），
∴此时满足条件的点B不存在，
综上所述，∠BOA的度数为15°或75°．