Question

如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，且线段OA、OC（OA＞OC）是方程x²-18x+80=0的两根，将边BC折叠，使点B落在边OA上的点D处．
（1）求线段OA、OC的长；
（2）求直线CE与x轴交点P的坐标及折痕CE的长；
（3）是否存在过点D的直线l，使直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）方程x²-18x+80=0，
因式分解得：（x-8）（x-10）=0，
即x-8=0或x-10=0，
解得：x₁=8，x₂=10，
∴OA=10，OC=8；

（2）由折叠可知：△EBC≌△EDC，∴EB=ED，
∴CB=CD，又矩形OABC，∴AB=OC=8，
∴CB=CD=OA=10，又OC=8，
在Rt△OCD中，根据勾股定理得：OD=

CD2-OC2

=6，
∴AD=OA-OD=10-6=4，
又BE+EA=AB=8，且EB=ED，
∴DE+EA=8，即DE=8-EA，
在Rt△AED中，设AE=x，则DE=8-x，又AD=4，
根据勾股定理得：（8-x）²=x²+16，
整理得：16x=48，
解得：x=3，
则E的坐标为（10，3），又C（0，8），
设直线CE的解析式为y=kx+b，
将C与E坐标代入得：

b=8 10k+b=3

，
解得：k=-

1

2

，b=8，
则直线CE解析式为y=-

1

2

x+8，
令y=0求出x=16，即P坐标为（16，0）；
此时BE=BA-EA=8-3=5，又BC=OA=10，
在Rt△BCE中，根据勾股定理得：
CE=

BE2+BC2

=5

5

；

（3）存在．满足条件的直线l有2条：y=-2x+12，y=2x-12．
如图2：准确画出两条直线．