Question

如图，△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，点P从点B以2cm/s的速度向点C移动，点Q以1cm/s的速度从点C向点A移动，如果点P，Q同时出发，则点P移动多少秒时△CPQ与△ABC相似？

Answer 1

考点：相似三角形的判定,勾股定理

专题：

分析：首先设点P移动t秒时△CPQ与△ABC相似，由△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，可求得AC与BC的长，然后分别从当

CP

CB

=

CQ

CA

，即

8-2t

8

=

t

6

时，△CPQ∽△CBA，与当

CQ

CB

=

CP

CA

，即

t

8

=

8-2t

6

时，△CPQ∽△CAB，去分析求解即可求得答案．

解答：解：设点P移动t秒时△CPQ与△ABC相似，
∵△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，
∴AC=6cm，AB=10cm，
∵点P从点B以2cm/s的速度向点C移动，点Q以1cm/s的速度从点C向点A移动，
∴BP=2tcm，CQ=tcm，则CP=CB-BP=8-2t（cm），
∵∠C是公共角，
∴当

CP

CB

=

CQ

CA

，即

8-2t

8

=

t

6

时，△CPQ∽△CBA，
解得：t=

12

5

；
当

CQ

CB

=

CP

CA

，即

t

8

=

8-2t

6

时，△CPQ∽△CAB，
解得：t=

32

11

，
∴点P移动

12

5

s或

32

11

s时△CPQ与△ABC相似．

点评：此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想以及方程思想的应用．