Question

11．已知m，n为整数，给出如下三个关于x方程：
①x²+（6-m）x+7-n=0   ②x²-mx+3-n=0   ③x²+（4-m）x+5-n=0
若方程①有两个相等的实数根，方程②③有且仅有一个方程有两个不相等的实数根，求（m-n）²⁰¹³的值．

Answer 1

分析 由②③有且仅有一个方程有两个不相等的实数根，分②有实数根，③无实数根，③有实数根，②无实数根两种情况，三个方程根的判别式联立不等式组求得m、n的值，代入得出答案即可．

解答 解：依题意得$\left\{\begin{array}{l}{（6-m）^2}-4（7-n）=0…（1）\\{m^2}-4（3-n）＞0…（2）\\{（4-m）^2}-4（5-n）≤0…（3）\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{（6-m）^2}-4（7-n）=0…（1）\\{m^2}-4（3-n）≤0…（2）\\{（4-m）^2}-4（5-n）＞0…（3）\end{array}\right.$，
由（1）得4n=-m²+12m-8代入（2）、（3）得$\frac{5}{3}＜m≤3$或无解，
又m，n为整数，
则m=2或m=3
当m=2时，n=3；当m=3，$n=\frac{19}{4}$（舍）
则m=2，n=3时，（m-n）²⁰¹³=-1．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．