Question

12．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC=1：2．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AD=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）首先连接OC，由PE是⊙O的切线，AE和过点C的切线互相垂直，可证得OC∥AE，又由OA=OC，易证得∠DAC=∠OAC，即可得AC平分∠BAD；
（2）由AB是⊙O的直径，PE是切线，可证得∠PCB=∠PAC，即可证得△PCB∽△PAC，然后由相似三角形的对应边成比例与PB：PC=1：2，即可求得答案；
（3）首先过点O作OH⊥AD于点H，则AH=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{3}{2}$，四边形OCEH是矩形，即可得AE=$\frac{3}{2}$+OC，由OC∥AE，可得△PCO∽△PEA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得OC的长，再由△PBC∽△PCA，证得AC=2BC，然后在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，可得（2BC）²+BC²=5²，即可求得BC的长，继而求得答案．

解答 （1）证明：连接OC，
∵PE是⊙O的切线，
∴OC⊥PE，
∵AE⊥PE，
∴OC∥AE，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠DAC=∠OAC，
∴AC平分∠BAD；

（2）线段PB，AB之间的数量关系为：AB=3PB．
理由：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠ABC，
∵∠PCB+∠OCB=90°，
∴∠PCB=∠PAC，
∵∠P是公共角，
∴△PCB∽△PAC，
∴$\frac{PC}{PA}=\frac{PB}{PC}$，
∴PC²=PB•PA，
∵PB：PC=1：2，
∴PC=2PB，
∴PA=4PB，
∴AB=3PB；

（3）解：过点O作OH⊥AD于点H，则AH=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{3}{2}$，四边形OCEH是矩形，
∴OC=HE，
∴AE=$\frac{3}{2}$+OC，
∵OC∥AE，
∴△PCO∽△PEA，
∴$\frac{OC}{AE}=\frac{PO}{PA}$，
∵AB=3PB，AB=2OB，
∴OB=$\frac{3}{2}$PB，
∴$\frac{OC}{\frac{3}{2}+OC}=\frac{PB+OB}{PB+AB}$=$\frac{PB+\frac{3}{2}PB}{PB+3PB}$，
∴OC=$\frac{5}{2}$，
∴AB=5，
∵△PBC∽△PCA，
∴$\frac{PB}{PC}=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴AC=2BC，
在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
∴（2BC）²+BC²=5²，
∴BC=$\sqrt{5}$，
∴AC=2$\sqrt{5}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=5．

点评 此题属于圆的综合题，考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．