Question

【题目】将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．

（1）连接BF，求证：CF＝EF．

（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，如图②，求证：AF+EF＝DE．

（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③，你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF、EF与DE之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

（1）连接BF，证明Rt△BCF≌Rt△BEF，根据全等三角形的性质即可证得CF＝EF；（2）连接BF，证明Rt△BCF≌Rt△BEF，根据全等三角形的性质可得CF＝EF，由此即可证得结论；（3）连接BF，证明Rt△BCF≌Rt△BEF，根据全等三角形的性质可得CF＝EF，由此即可证得结论.

（1）证明：如图1，连接BF，

∵△ABC≌△DBE，

∴BC＝BE，

∵∠ACB＝∠DEB＝90°，

在Rt△BCF和Rt△BEF中，

，

∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），

∴CF＝EF；

（2）如图2，连接BF，

∵△ABC≌△DBE，

∴BC＝BE， AC＝DE,

∵∠ACB＝∠DEB＝90°，

在Rt△BCF和Rt△BEF中，

，

∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），

∴EF＝CF，

∴AF+EF＝AF+CF＝AC＝DE；

（3）如图3，连接BF，

∵△ABC≌△DBE，

∴BC＝BE，AC＝DE,

∵∠ACB＝∠DEB＝90°，

∴△BCF和△BEF是直角三角形，

在Rt△BCF和Rt△BEF中，

，

∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），

∴CF＝EF，

∵AC＝DE，

∴AF＝AC+FC＝DE+EF．