Question

18．如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD边上一点，连接CE，把△CDE沿CE翻折，得到△CPE，EP交AC于点F，CP交BD于点G，连接PO，若PO∥BC，则四边形OFPG的面积是8-4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先过P作PM⊥AO于M，作PN⊥BO于N，延长PO交CD于H，根据△CDO是等腰直角三角形，运用勾股定理求得PH=$\sqrt{P{C}^{2}-C{H}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，进而得到PO=PH-OH=2$\sqrt{3}$-2，进而得到正方形PMON的面积=$\frac{1}{2}$OP²=8-4$\sqrt{3}$，最后判定△PMF≌△PNG（ASA），得出S_△PMF=S_△PNG，根据S_{四边形OFPG}=S_{正方形PMON}，即可得出四边形OFPG的面积是8-4$\sqrt{3}$．

解答 解：如图所示，过P作PM⊥AO于M，作PN⊥BO于N，延长PO交CD于H，
∵PO∥BC，BC⊥CD，
∴PH⊥CD，
又∵△CDO是等腰直角三角形，
∴OH=$\frac{1}{2}$CD=2=CH，OH平分∠COD，
由折叠可得，CP=CD=4，
∴Rt△PCH中，PH=$\sqrt{P{C}^{2}-C{H}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴PO=PH-OH=2$\sqrt{3}$-2，
∵PO平分∠AOB，PM⊥AO，PN⊥BO，
∴PM=PN，
矩形PMON是正方形，
∴正方形PMON的面积=$\frac{1}{2}$OP²=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{3}$-2）²=8-4$\sqrt{3}$，
∵∠FPG=∠MON=90°，
∴∠FPM=∠GPN，
在△PMF和△PNG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PMF=∠PNG}\\{PM=PN}\\{∠FPM=∠GPN}\end{array}\right.$，
∴△PMF≌△PNG（ASA），
∴S_△PMF=S_△PNG，
∴S_{四边形OFPG}=S_{正方形PMON}，
∴四边形OFPG的面积是8-4$\sqrt{3}$，
故答案为：8-4$\sqrt{3}$．

点评 本题属于折叠问题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，将四边形OFPG的面积转化为正方形PMON的面积．