Question

14．如图，边长为1的正三角形ABC放置在边长为2的正方形内部，顶点A在正方形的一个顶点上，边AB在正方形的一边上，将△ABC绕点B顺时针旋转，当点C落在正方形的边上时，完成第1次无滑动滚动（如图1）；再将△ABC绕点C顺时针旋转，当点A落在正方形的边上时，完成第2次无滑动滚动（如图2），…，每次旋转的角度都不大于120°，依次这样操作下去，当完成第2016次无滑动滚动时，点A经过的路径总长为560π．

Answer 1

分析 先求出第一次到第六次旋转的路径的长分别是多少，探究规律后即可解决问题．

解答 解：第一次旋转的路径长为$\frac{120π•1}{180}$=$\frac{2}{3}$π，
第二次旋转的路径长为$\frac{30π•1}{180}$=$\frac{1}{6}$π，
第三次旋转的路径长为0，
第四次旋转的路径长为$\frac{1}{6}$π，
第五次旋转的路径长为$\frac{2}{3}$π，
第六次旋转的路径长为0，
…
由此发现每三次旋转的路径和为$\frac{2}{3}$π+$\frac{1}{6}$π=$\frac{5}{6}$π．
2016÷3=672，
∴完成第2016次无滑动滚动时，点A经过的路径总长为672×$\frac{5}{6}$π=560π．
故答案为560π

点评 本题考查旋转变换、等边三角形的性质、弧长公式等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，学会利用规律解决问题，属于中考常考题型．