Question

如图：矩形ABCD的顶点B、C在x轴的正半轴上，A、D在抛物线y=-x²+x上，矩形的顶点均为动点，且矩形在抛物线与x轴围成的区域里．
（1）设点A的坐标为（x，y），试求矩形的周长p关于变量x的函数的解析式，并写出x的取值范围；
（2）是否存在这样的矩形ABCD，它的周长p=9？试证明你的结论．

Answer 1

解：（1）令-x²+x=0，
得：x₁=0，x₂=4，
则抛物线与坐标轴两交点的坐标为O（0，0）和E（4，0），
设OB=x（0＜x＜2），由抛物线的对称性可知EC=x，则BC=4-2x，
P=2（4-2x+y）=2（4-2x-x²+x）=-x²+x+8（0＜x＜2）．

（2）不存在．
先假设存在周长为9的矩形ABCD，则-x²+x+8=9，
化简得：4x²-4x+3=0，
则有△=16-48＜0，
∴方程无实数根，即不存在这样的矩形．
分析：（1）根据抛物线的解析式令y=0，可求出抛物线与x轴两交点的坐标，因为A点的坐标为（x，y），则B点坐标为（x，0），即OB=x，由抛物线的对称性可知EC=x，则BC=4-2x，再根据矩形的面积公式可求出矩形周长p关于变量x的函数表达式；
（2）先假设符合条件的矩形存在，把9代入（1）所求的矩形周长公式，根据一元二次方程判别式的情况判断出方程解的情况即可判断P是否存在．
点评：本题考查了二次函数的知识，难度适中，注意数形结合思想的灵活运用，同时要注意总结这类综合题的解题思路．