Question

9．如图，△ABC中，∠ACB=60°，分别以△ABC的两边向形外作等边△BCE、等边△ACF，过A作AM∥FC交BC于点M，连接EM．
求证：（1）四边形AMCF是菱形；
     （2）△ACB≌△MCE．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的判定与性质得出∠ACB=∠FAC，进而求出四边形AMCF是平行四边形，再得出△AMC是等边三角形，即可得出答案；
（2）利用等边三角形的性质结合全等三角形的判定方法得出即可．

解答 证明：（1）∵△ACF是等边三角形，
∴∠FAC=∠ACF=60°，AC=CF=AF，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACB=∠FAC，
∴AF∥BC，
∵AM∥FC，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∵AM∥FC，∠ACB=∠ACF=60°，
∴∠AMC=60°，
又∵∠ACB=60°，
∴△AMC是等边三角形，
∴AM=MC，
∴四边形AMCF是菱形；

（2）∵△BCE是等边三角形，
∴BC=EC，
在△ABC和△MEC中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=MC}\\{∠ACB=∠MCE}\\{BC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△MEC（SAS）．

点评 此题主要考查了菱形的判定以及全等三角形的判定和等边三角形的判定与性质，得出△AMC是等边三角形是解题关键．