Question

19．已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F．
（1）当点P为AB的中点时，如图1，连接AF、BE．证明：四边形AEBF是平行四边形；
（2）当点P不是AB的中点，如图2，Q是AB的中点．证明：△QEF为等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）首先证明△BFQ≌△AEQ可得QE=QF，再由AQ=BQ可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形AEBF是平行四边形；
（2）首先证明△FBQ≌△DAQ可得QF=QD，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得QE=QF=QD，进而可得结论．

解答 证明：（1）如图1，∵Q为AB中点，
∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ，
在△BFQ和△AEQ中：$\left\{\begin{array}{l}{∠BFQ=∠AEQ}\\{∠BQF=∠AQE}\\{BQ=AQ}\end{array}\right.$
∴△BFQ≌△AEQ（AAS），
∴QE=QF，
∴四边形AEBF是平行四边形；

（2）QE=QF，
如图2，延长FQ交AE于D，
∵AE∥BF，
∴∠QAD=∠FBQ，
在△FBQ和△DAQ中$\left\{\begin{array}{l}{∠FBQ=∠DAQ}\\{AQ=BQ}\\{∠BQF=∠AQD}\end{array}\right.$，
∴△FBQ≌△DAQ（ASA），
∴QF=QD，
∵AE⊥CP，
∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，
∴QE=QF=QD，即QE=QF，
∴△QEF是等腰三角形．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形．