Question

如图，点C是线段AB上的任意一点（异于点A、B），分别以AC、BC为边在线段AB的两侧作正方形ACDE和BCFG，连接AF、BD．
（1）证明：AF=BD；
（2）当点C位于线段AB何处时，边AF、BD所在直线互相平行？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件证明△ACF≌△DCB即可得到AF=BD；
（2）当点C位于线段AB中点时，边AF、BD所在直线互相平行．

解答：（1）证明：
∵四边形ACDE和BCFG都是正方形，
∴AC=DC，BC=CF，∠ACD=∠BCD=90°，
∴∠ACF=∠BCD=90°，
在△ACF和△DCB中，

AC=DC ∠ACF=∠DCB CF=CB

，
∴△ACF≌△DCB，
∴AF=BD．
（2）当点C位于线段AB中点时，边AF、BD所在直线互相平行．
理由如下：
∵四边形ACDE和BCFG都是正方形，
∴AC=DC=BC=CF，
∵∠ACF=∠BCD=90°，
∴△ACF和△BCD均为等腰三角形，
∴∠CAF=∠CBD=45°，
∴AF∥BD．

点评：本题考查了正方形的性质和三角形全等的判定方法以及其性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．