Question

10．如图，AB为⊙O的直径，C为OA的中点，过点C作EF⊥AB，交⊙O于点E，F，连接EO并延长交⊙O于点M，过点M作⊙O的切线DM，与EF的延长线交于点D，切点为M，连接AM，交EF于点N，连接OF．
（1）试判断DN，DM之间的数量关系，并说明理由；
（2）若AB=2a，求DN的长度．

Answer 1

分析 （1）连接BM，根据圆周角定理求出∠AMB=90°，求出∠B=∠DNM，根据切线得出∠DMN=∠B，推出∠DNM=∠DMN即可；
（2）求出OC=AC=$\frac{1}{2}$a，求出DM=DN，得出△DNM是等边三角形，根据等边三角形的性质得出DN=MN，∠ANC=∠DNM=60°，求出∠A=30°，解直角三角形求出AN和AM，即可得出答案．

解答 解：（1）DN=DM，
理由是：连接BM，
∵AB是直径，
∴∠AMB=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∵EF⊥AB，
∴∠ACN=90°，
∴∠A+∠ANC=90°，
∵∠DNM=∠ANC，
∴∠B=∠DNM，
∵DM切⊙O于M，
∴∠DMN=∠B，
∴∠DNM=∠DMN，
∴DN=DM；

（2）∵直径AB=2a，
∴OF=OA=a，
∵C为OA中点，
∴OC=AC=$\frac{1}{2}$a，
∴OC=$\frac{1}{2}$OF，
∴∠OFC=30°，
∵OF=OE，
∴∠E=∠OFE=30°，
∵DM切⊙O于M，
∴∠DME=90°，
∴∠D=60°，
∵DM=DN，
∴△DNM是等边三角形，
∴DN=MN，∠ANC=∠DNM=60°，
∵∠ACN=90°，
∴∠A=30°，
∵∠AMB=90°，AB=2a，AC=$\frac{1}{2}$a，
∴AN=$\frac{AC}{cos30°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，AM=AB×cos30°=$\sqrt{3}$a，
∴DN=MN=AM-AN=$\sqrt{3}$a-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a．

点评 本题考查了切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，等边三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是进而此题的关键，难度偏大．