Question

如图，对称轴为直线x=

7

2

的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）在（3）①的条件下，当四边形OEAF为菱形时，设动点P在直线OE下方的抛物线上移动，则点P到直线OE的最大距离是

 

．

Answer 1

考点：二次函数综合题,解一元二次方程-因式分解法,根的判别式,待定系数法求二次函数解析式,勾股定理,平行四边形的性质,菱形的判定,正方形的判定

专题：压轴题

分析：（1）将抛物线解析式设成顶点式，然后用待定系数法就可解决问题．
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标，就可得到x的取值范围，由于△OAE与△AOF全等，因此S=2S_△OAE=-6y，然后把y换成x的代数式即可．
（3）①易求出点E的纵坐标y，从而求出点E的坐标，然后算出OE、AE的长，就可判定四边形OEAF是否为菱形；②可先求出使四边形OEAF是菱形时点E的坐标，然后再验证菱形OEAF是否是正方形．
（4）由条件可确定点E的坐标，将直线OE平移到与抛物线相切时，切点P到直线OE的距离最大，只需先求出平移到与抛物线相切时直线l的解析式，然后求出两平行线间的距离，就是点P到直线OE的最大距离．

解答：解：（1）由题可设抛物线的解析式为y=a（x-

7

2

）²+k，
∵抛物线经过点A（6，0）和B（0，4），
∴

a(6- 7 2 )2+k=0 a(0- 7 2 )2+k=4

．
解得；

a= 2 3 k=- 25 6

．
∴抛物线的解析式为y=

2

3

（x-

7

2

）²-

25

6

，此时顶点坐标为（

7

2

，-

25

6

）．

（2）过点E作EH⊥OA，垂足为H，如图1，
由

2

3

（x-

7

2

）²-

25

6

=0得x₁=1，x₂=6．
∵点E（x，y）是抛物线上位于第四象限一动点，
∴1＜x＜6，-

25

6

≤y＜0．
∵四边形OEAF是平行四边形，
∴△OAE≌△AOF．
∴S=2S_△OAE=2×

1

2

OA•EH=OA•EH
=-6y
=-6×[

2

3

（x-

7

2

）²-

25

6

]
=-4（x-

7

2

）²+25．
∴四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式为S=-4（x-

7

2

）²+25，其中1＜x＜6．

（3）①当S=24时，-4（x-

7

2

）²+25=24，解得x₁=4，x₂=3．
Ⅰ．当x=4时，y=

2

3

×（4-

7

2

）²-

25

6

=-4，则点E（4，-4）．
过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2，
则有OH=4，EH=4，AH=2．
∵EH⊥x轴，
∴OE=4

2

，AE=2

5

．
∴OE≠AE．
∴平行四边形OEAF不是菱形．
Ⅱ．当x=3时，y=

2

3

×（3-

7

2

）²-

25

6

=-4，则点E（3，-4）．
过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图3，
则有OH=3，EH=4，AH=3．
∵EH⊥x轴，
∴OE=5，AE=5．
∴OE=AE．
∴平行四边形OEAF是菱形．
综上所述；当点E为（4，-4）时，平行四边形OEAF不是菱形；当点E为（3，-4）时，平行四边形OEAF是菱形．
②不存在点E，使四边形OEAF为正方形．
理由如下：
当点E在线段OA的垂直平分线上时，EO=EA，则平行四边形OEAF是菱形，如图4，
此时，x_E=

0+6

2

=3，y_E=-4，点E为（3，-4）．
则有OA=6，EF=8．
∵OA≠EF，
∴菱形OEAF不是正方形．
∴不存在点E，使四边形OEAF为正方形．

（4）在（3）①的条件下，当四边形OEAF为菱形时，点E的坐标为（3，-4）．
设直线OE的解析式为y=mx，则有3m=-4，解得m=-

4

3

．
∴直线OE的解析式为y=-

4

3

x．
设与直线OE平行且与抛物线y=

2

3

（x-

7

2

）²-

25

6

相切的直线l的解析式为y=-

4

3

x+n，
∴方程

2

3

（x-

7

2

）²-

25

6

=-

4

3

x+n即2x²-10x+12-3n=0有两个相等的实数根．
∴（-10）²-4×2×（12-3n）=0．
解得：n=-

1

6

．
∴直线l的解析式为y=-

4

3

x-

1

6

．
设直线l与x轴、y轴分别相交于点M、N，过点O作OG⊥MN．垂足为G，如图5，
由-

4

3

x-

1

6

=0得x=-

1

8

，则点M（-

1

8

，0）；由x=0得y=-

1

6

，则点N（0，-

1

6

）．
在Rt△MON中，
∵OM=

1

8

，ON=

1

6

，
∴MN=

OM2+ON2

=

5

24

．
∴OG=

OM•ON

MN

=0.1．
∴直线OA与直线l之间的距离是0.1．
∴点P到直线OE的最大距离是0.1．
故答案为：0.1．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、抛物线与x轴的交点、抛物线与直线相切、平行四边形的性质、菱形的判定、正方形的判定、根的判别式、勾股定理、解一元二次方程等知识，覆盖面广，综合性非常强，对运算能力的要求也比较高，有一定的难度．把点P到直线OE的最大距离转化为平行于直线OE且与抛物线相切的直线l与直线OE之间的距离是解决第四小题的关键．