Question

14．已知：如图A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，∠B=30°．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．

Answer 1

分析 （1）求证：AB是⊙O的切线，可以转化为证∠OAB=90°的问题来解决．
（2）作AE⊥CD于点E，CD=DE+CE，因而就可以转化为求DE，CE的问题，根据勾股定理就可以得到．

解答 （1）证明：如图，连接OA；
∵OC=BC，OA=OC，
∴OA=$\frac{1}{2}$OB．
∴∠OAB=90°，
∴AB是⊙O的切线；

（2）解：作AE⊥CD于点E，
∵∠O=60°，
∴∠D=30°．
∵∠ACD=45°，AC=OC=2，
∴在Rt△ACE中，CE=AE=$\sqrt{2}$；
∵∠D=30°，
∴AD=2$\sqrt{2}$，
∴DE=$\sqrt{3}$AE=$\sqrt{6}$，
∴CD=DE+CE=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．