Question

19．如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，且AB=2BC，请在图中按如下要求进行操作和证明：
（1）用圆规在CA上截取CD=CB，保留痕迹，标注点D；再以点A为圆心，AD为半径画弧交AB于点P，保留痕迹，标注点P；
（2）证明点P是线段AB的黄金分割点．

Answer 1

分析 （1）根据题意进行尺规作图即可；
（2）设BC=x，根据勾股定理、结合图形求出$\frac{AP}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$即可．

解答 解：（1）如图所示：
（2）设BC=x，则AB=2x，AC=$\sqrt{5}$x，
由题意得，CD=x，
则AP=AD=（$\sqrt{5}$-1）x，
$\frac{AP}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
则点P是线段AB的黄金分割点．

点评 本题考查的是黄金分割的概念，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即ABAC=ACBC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．