Question

【题目】问题：要将一块直径为的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面．

操作：

方案一：在图中，设计一个圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画示意图）；

方案二：在图中，设计一个圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画示意图）．

探究：

求方案一中圆锥底面的半径；

求方案二中半圆圆心为，圆柱两个底面圆心为、，圆锥底面的圆心为，试判断以、、、为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

（1）当圆锥的底面与半圆内切，且与直径相切时，圆锥底面面积最大，而两个圆柱的底面分别与圆锥底面外切，且与半圆内切，与半圆的直径相切；

（2）当两个圆柱的底面外切，且分别与半圆内切，与半圆的直径相切时，圆柱的底面面积最大，此时圆锥底面与半圆内切，又与两个圆柱底面外切，由圆的对称性质，可知得到以、、、为顶点的四边形是正方形.

如图，当圆锥的底面与半圆内切且与直径相切时，圆锥底面面积最大，故圆锥的直径是半圆的半径，所以圆锥的半径是．

如图，当两个圆柱的底面外切，且分别与半圆内切，与半圆的直径相切时，圆柱的底面面积最大，由于该图是关于成轴对称图形，且扇形顺时旋转度后，能与图形也能重合，故有四边形的四边相等，四角为直角，所以是正方形．