Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=﹣x+2经过点A，C

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为直线AC上方抛物线上一动点．

①连接PO，交AC于点E，求的最大值；

②过点P作PF⊥AC，垂足为点F连接PC，是否存在点P，使△PFC中的一个角等于∠CAB的2倍？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）①1；②P点坐标是（2，3）或（，）．

【解析】

（1）由直线求出A、C两点的坐标，代入抛物线的解析式求出，的值；

（2）①过点P向轴做垂线，交直线AC于点M，交轴于点N，

利用相似三角形的性质得，求出的表达式，根据一元二次函数的性质，求出的最大值，即可得出答案；

②分两种情况讨论：

情况一：

以为条件，由几何关系得出，即，

令P（ ，），代入解出P点坐标；

情况二：

以为条件，，

设，由几何关系得到，解出的值，求得P点坐标.

解：（1）当x=0时，y=2，即C（0，2），

当y=0时，x=4，即A（4，0），

将A，C点坐标代入函数解析式，得

，

解得，

抛物线的解析是；

（2）①过点P向轴做垂线，交直线AC于点M，交轴于点N

，

∵直线轴，

∴，

∴，

把代入，得，即OC=2，

设点P（，），则点M（ ，），

∴PM=（）-（）==，

∴，

∵，

∴当时，有最大值1．

②∵A（4，0），B（﹣1，0），C（0，2），

∴AC=，BC=，AB=5，

∴，

∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点D，

∴D（，0），

∴，

∴，

∴，

过P作轴的平行线交轴于R，交AC的延长线于G，

情况一：如图，

，

∴，

∴，

∴，

即，

令P（ ，），

∴PR=，RC=，

∴，

∴（舍去）， ，

∴，，P（2，3）

情况二，∴，

∴，

设，

∴，，

∵，

∴，

∴，，

∴，，

，

∴，

∴（舍去），，

，，即P，

综上所述：P点坐标是或．