Question

【题目】如图，在中，，以为直径的半圆与交于点，与交于点，连接，过点作，垂足为点．

求证：；

判断与的位置关系，并说明理由；

若的直径为，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）与相切，理由详见解析；（3）．

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质，由AB=AC得到∠B=∠C，再根据圆内接四边形的性质得∠CDE=∠B，则∠CDE=∠C，于是根据等腰三角形的判定即可得到DE=CE；

（2）如图，连接AE、OE，根据圆周角定理，由AB为直径得到∠AEB=90°，再根据等腰三角形的性质得BE=CE，于是可得到OE是△ABC的中位线，所以OE∥AC，由于EF⊥AC，则EF⊥OE，则根据切线的判定定理可判断EF与⊙O相切；

（3）证明Rt△ABE∽Rt△ECF，利用相似比计算出CF=2，然后利用勾股定理计算EF的长．

（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．

∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CDE=∠B，∴∠CDE=∠C，∴DE=CE；

（2）EF与⊙O相切．理由如下：

如图，连接AE、OE．

∵AB为直径，∴∠AEB=90°．

∵AB=AC，∴BE=CE，即点E是BC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC．

∵EF⊥AC，∴EF⊥OE，∴EF与⊙O相切；

（3）∵AB=AC=18，BC=12，∴∠B=∠C，BE=CE=6，∴Rt△ABE∽Rt△ECF，∴，即，解得：CF=2．在Rt△CEF中，EF=．