【题目】如图,在中,
,以
为直径的半圆
与
交于点
,与
交于点
,连接
,过点
作
,垂足为点
.
求证:
;
判断
与
的位置关系,并说明理由;
若
的直径为
,
,求
的长.
【答案】(1)详见解析;(2)与
相切,理由详见解析;(3)
.
【解析】
(1)根据等腰三角形的性质,由AB=AC得到∠B=∠C,再根据圆内接四边形的性质得∠CDE=∠B,则∠CDE=∠C,于是根据等腰三角形的判定即可得到DE=CE;
(2)如图,连接AE、OE,根据圆周角定理,由AB为直径得到∠AEB=90°,再根据等腰三角形的性质得BE=CE,于是可得到OE是△ABC的中位线,所以OE∥AC,由于EF⊥AC,则EF⊥OE,则根据切线的判定定理可判断EF与⊙O相切;
(3)证明Rt△ABE∽Rt△ECF,利用相似比计算出CF=2,然后利用勾股定理计算EF的长.
(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵四边形ABED内接于⊙O,∴∠CDE=∠B,∴∠CDE=∠C,∴DE=CE;
(2)EF与⊙O相切.理由如下:
如图,连接AE、OE.
∵AB为直径,∴∠AEB=90°.
∵AB=AC,∴BE=CE,即点E是BC的中点,∴OE是△ABC的中位线,∴OE∥AC.
∵EF⊥AC,∴EF⊥OE,∴EF与⊙O相切;
(3)∵AB=AC=18,BC=12,∴∠B=∠C,BE=CE=6,∴Rt△ABE∽Rt△ECF,∴,即
,解得:CF=2.在Rt△CEF中,EF=
.
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【题目】如图,在矩形OABC中,OA=3,OC=2,F是AB上的一个动点(F不与A,B重合),过点F的反比例函数y=(k>0)的图象与BC边交于点E.
(1)当F为AB的中点时,求该函数的解析式;
(2)当k为何值时,△EFA的面积为.
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【题目】如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E、F,BE=CF.
(1)求证:△ABC是等腰三角形.
(2)判断点D是否在∠BAC的角平分线上,并说明理由.
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【题目】如下图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,4),点B的坐标为(3,0),
(1)在图中作出线段AB以二四象限的角平分线为对称轴的对称线段CD,并直接写出四边形ABDC的面积为 ;
(2)若点C为格点(横纵坐标均为整数),且AB⊥OC,且AB=OC,作出线段OC;并写出C点坐标为 .
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【题目】如图是某学校田径体育场一部分的示意图,第一条跑道每圈为米,跑道分直道和弯道,直道为长相等的平行线段,弯道为同心的半圆型,弯道与直道相连接,已知直道
的长
米,跑道的宽为
米.
,结果精确到
求第一条跑道的弯道部分
的半径.
求一圈中第二条跑道比第一条跑道长多少米?
若进行
米比赛,求第六道的起点
与圆心
的连线
与
的夹角
的度数.
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【题目】如图,在边长为1的菱形ABCD中,∠DAB=60°,连接对角线AC,以AC为边作第二个菱形ACC1D1,使∠D1AC=60°,连接AC1,再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2,使∠D2AC1=60°;…,按此规律所作的第六个菱形的边长为( )
A. 9 B. C. 27 D.
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【题目】如图,将长方形ABCD沿AC对折,使AABC落在04EC的位置,且CE与AD相交于点F.
(1)求证:EF=DF;
(2)若AB=,BC=3,求折叠后的重叠部分(阴影部分)的面积.
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,直线y=﹣
x+2经过点A,C
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为直线AC上方抛物线上一动点.
①连接PO,交AC于点E,求的最大值;
②过点P作PF⊥AC,垂足为点F连接PC,是否存在点P,使△PFC中的一个角等于∠CAB的2倍?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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