Question

【题目】如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，BE=CF.

(1)求证：△ABC是等腰三角形.

(2)判断点D是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)点D在∠BAC的角平分线上.

【解析】

（1）利用“HL”证明△BDE和△CDF全等，再根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠C，然后根据等角对等边即可得证；

（2）根据△BDE≌△CDF可得DE=DF，即点D在∠BAC的平分线上，据此得证．

（1）证明：∵D是BC的中点，

∴BD=CD，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠BED=∠CFD=90°，

在Rt△BDE与Rt△CDF中，

∵BD=CD，BE=CF，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC，

即△ABC是等腰三角形；

（2）点D在∠BAC的角平分线上.

理由如下：

由（1）可知：Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，

∴DE=DF，

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴点D在∠BAC的角平分线上.