Question

18．已知：抛物线y=x²+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）写出点C的坐标（0，3），顶点D的座标为（2，-1）；
（3）将直线CD沿y轴向下平移3个单位长度，求平移后直线m的解析式；
（4）在直线m上是否存在一点E，使得以点E、A、B、C为顶点的四边形是梯形？如果存在，请直接写出所有满足条件的E点的坐标（-1，2）或（-1.5，3）（不必写出过程）

Answer 1

分析 （1）把A与B坐标代入抛物线解析式求出b与c的值，即可确定出二次函数解析式；
（2）对于二次函数解析式，令x=0求出y的值，即可确定出C的坐标，由解析式确定出顶点坐标即可；
（3）利用待定系数法确定出直线CD解析式，利用平移规律确定出直线m的解析式即可；
（4）存在，利用梯形的性质及坐标与图形性质确定出E坐标即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0）和B（3，0），
∴把A与B坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b+c+1=0}\\{3b+c+9=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
则二次函数解析式为y=x²-4x+3；
（2）对于y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
令x=0，得到y=3，即C（0，3），顶点D（2，-1）；
（3）设直线CD解析式为y=kx+b，
把C与D坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{2k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得：k=-2，b=3，即直线CD解析式为y=-2x+3，
由平移规律得：平移后直线m的解析式为y=-2x；
（4）在直线m上存在一点E，使得以点E、A、B、C为顶点的四边形是梯形，
分两种情况考虑：若AE∥BC，可得直线BC与直线AE斜率相等，
设直线BC解析式为y=ax+b，
把B（3，0），C（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，b=3，
∴直线BC解析式为y=-x+3；
∴直线AE解析式为y=-（x-1）=-x+1，
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=-2x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
此时E坐标为（-1，2）；
若CE′∥AB，此时E′的纵坐标为3，即E′（-1.5，3），
综上，E的坐标为（-1，2）或（-1.5，3）．
故答案为：（2）（0，3）；（2，-1）；（4）（-1，2）或（-1.5，3）

点评 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，二次函数解析式，抛物线的顶点坐标，平移的性质，以及梯形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．