如果三角形一边上的高线长恰好等于这边的长.那么称这个三角形为“和谐三角形．(1)判断:等腰直角三角形是不是“和谐三角形 ?答:是和谐三角形．(2)如图1.在△ABC中.AB=AC.$\frac{AB}{BC}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$.求证:△ABC是“和谐三角形 (3)如图2.已知正方形ABCD的边长为3cm.点P.Q分别从B.D同时出� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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6．如果三角形一边上的高线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“和谐三角形”．
（1）判断：等腰直角三角形是不是“和谐三角形”？答：是和谐三角形．（填是或不是）
（2）如图1，在△ABC中，AB=AC，$\frac{AB}{BC}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，求证：△ABC是“和谐三角形”
（3）如图2，已知正方形ABCD的边长为3cm，点P、Q分别从B、D同时出发，都以1cm/秒的速度沿边BC、DC向终点C运动，设两点的运动时间为t秒（0＜t＜3〕．
①当t=6-3$\sqrt{3}$时，△APQ为等边三角形；
②试求当△APQ为和谐三角形时t的值，直接写出和谐三角形△APQ的外接圆半径是$\frac{5}{4}$$\sqrt{2}$．

分析（1）根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（2）由等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论；
（3）①由题意得PB=DQ=t，CP=CQ=3-t，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理即可解出结果；
②由题意得BP=DQ=tcm，由四边形ABCD是正方形，得到AB=AD，∠ABP=∠ADQ，推出△ABP≌△ADQ，得到AP=AQ过点P作PM⊥AQ于M，则AP＞PM，于是得到AQ＞PM这说明在△APQ中，AQ与AQ边上的高不相等，同理可得AP边上的高与AP不相等，因为△APQ为和谐三角形，所以PQ与PQ边上的高相等．连结AC交PQ于E由四边形ABCD是正方形可得∠BAC=∠DAC，由△ABP≌△ADQ得∠BAP=∠DAQ，根据和谐三角形的定义列方程解得结果．

解答解：（1）是和谐三角形；
故答案为：是；

（2）∵$\frac{AB}{BC}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，
∴设AB=$\sqrt{5}x$，BC=2x，
如图1，过点A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}BC$=x，
∵∠ADB=90°，
∴$AD=\sqrt{A{B^2}-B{D^2}}=2x$，
∴AD=BC　故△ABC是“和谐三角形”；

（3）①由题意得：PB=DQ=t，CP=CQ=3-t，
∵△APQ是等边三角形，
∴AP=PQ，
∴AB²+PB²=PC²+CQ²，
即：3²+t²=2（3-t）²，解得t=6+3$\sqrt{3}$（不合题意舍去），t=$6-3\sqrt{3}$，
∴当t=6-3$\sqrt{3}$时，△APQ为等边三角形；
故答案为：6-3$\sqrt{3}$；
②由题意得BP=DQ=t cm，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABP=∠ADQ，
在△ABP与△ADQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠D=90°}\\{PB=DQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ADQ，
∴AP=AQ
过点P作PM⊥AQ于M，
则AP＞PM，
∴AQ＞PM
这说明在△APQ中，AQ与AQ边上的高不相等，
同理可得AP边上的高与AP不相等，
因为△APQ为和谐三角形，
所以PQ与PQ边上的高相等．
连结AC交PQ于E
由四边形ABCD是正方形可得∠BAC=∠DAC，
由△ABP≌△ADQ得∠BAP=∠DAQ，
∴∠PAC=∠QAC，
因AP=AQ　故有AC⊥PQ，
∵BP=DQ=t，
∴CP=CQ=3-t，
∴CE=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{3-t}）$，PQ=$\sqrt{2}（{3-t}）$，
∴AE=$3\sqrt{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{3-t}）$，
由AE=PQ可得$3\sqrt{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{3-t}）$=$\sqrt{2}（{3-t}）$解得t=1，
∴AE=PQ=2$\sqrt{2}$，
设和谐三角形△APQ的外接圆半径为r，
∴r²-2=（2$\sqrt{2}$-r）²
解得：r=$\frac{5}{4}$$\sqrt{2}$
∴和谐三角形△APQ的外接圆半径为$\frac{5}{4}\sqrt{2}$．
故答案为：$\frac{4}{5}$$\sqrt{2}$．

点评本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形的外接圆的性质，勾股定理，正确的理解新定义“和谐三角形”是解题的关键．

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