Question

【题目】如图，直线y＝ax＋1（a≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y＝ 在第四象限的交点为C．若点B与点C 关于点A对称，且△BOC的面积为2．

（1）求a、k的值；

（2）问：在x轴上是否存在这样的点P，使得△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】(1)a=-,k=-4；(2)存在，P点坐标分别为（,0），（-,0），（4+,0），（4-,0）.理由参见解析.

【解析】

试题分析：（1）先根据一次函数解析式求出B点坐标，再根据点B与点C 关于点A对称，得出AB=AC,△OAB的面积等于△BOC面积的一半，且△BOC的面积为2．求出A点坐标，把A点坐标代入一次函数解析式就求出了a值，由A点坐标可知C点横坐标，将C点横坐标代入一次函数解析式求出C点纵坐标，把C点坐标代入反比例函数解析式，就确定了k值；（2）运用勾股定理先求出BC=2，当BC=BP或者BC=CP时，只要在x轴上找到一点P，使这点和B点或者C点的距离等于2即符合条件；当PB=PC时，因为AB=AC，此时P点在经过A点的BC的垂直平分线上，显然P不在x轴上，这种情况不符合题意舍去，然后根据勾股定理及C点坐标，P点在x轴的正负半轴写出P点的坐标即可.

试题解析：（1）由图像可知，当x=0时，y=ax+1=1，所以B（0,1），因为点B与点C 关于点A对称，所以AB=AC,△OAB的面积等于△BOC面积的一半，且△BOC的面积为2．即×1×OA=1，解得OA=2，所以A（2,0），把A（2,0）代入y=ax+1，可得2a+1=0,解得a=-.又因为A(2，0),所以C点横坐标为4，代入y=-x+1,可得C点纵坐标为-1，然后将C（4，-1）代入y=，得k=-4.故答案为a=-,k=-4；(2)由上题可知B（0,1），C（4,-1），由勾股定理求得BC=，当BC=BP时，P点在A点左侧x轴上时，由勾股定理求得P10=，P20=-4，这两个P点坐标分别为（-,0），（4-,0）.当BC=BP时，P点在A点右侧x轴上时，由勾股定理求得P30=，此时P点坐标为（,0）.当BC=CP，P点在A点右侧x轴上时，求得P40=+4，当PB=PC时，因为AB=AC，此时P点在经过A点的BC的垂直平分线上，显然P不在x轴上，这种情况不符合题意舍去，综上所述，符合条件的P点有4个，坐标分别为（,0），（-,0），（4+,0），（4-,0）.