Question

4．已知△ABC中，三边记为a，b，c．若a²+b²=nc²（n为正整数），则称△ABC为n阶三角形．显然等腰Rt△为1阶三角形，或者为3阶三角形．
（1）试判断正三角形的阶数；
（2）若一直角三角形为2阶三角形，求此三角形的三边之比；
（3）反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象交矩形ABCO两边所在直线AB，BC于点E，F，点B（2，1），若△OEF为4阶三角形，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由△ABC是正三角形，得出a=b=c，得出a²+b²=2c²，b²+c²=2a²，a²+c²=2b²，即可得出结论；
（2）由勾股定理得出a²+b²=c²，再由已知条件得出c²+a²=2b²，证出2a²+b²=2b²，得出b=$\sqrt{2}$a，c=$\sqrt{3}$a，即可得出结论；
（3）根据题意得出F（k，1），E（2，$\frac{k}{2}$），由矩形的性质和勾股定理得出OF²=1+k²，OE²=4+$\frac{{k}^{2}}{4}$，EF²=BF²+BE²=$\frac{5}{4}{k}^{2}$-5k+5；分三种情况：①当OF²+OE²=4EF²时；②当OF²+EF²=4OE²时；③当OE²+EF²=4OF²时；分别得出关于k的方程，解方程即可．

解答 解：（1）正三角形是2阶三角形；理由如下：
∵△ABC是正三角形，
∴a=b=c，
∴a²+b²=2c²，b²+c²=2a²，a²+c²=2b²，
∴正三角形是2阶三角形；
（2）∵△ABC为2阶直角三角形，
∴a²+b²=c²，且c²+a²=2b²，
∴2a²+b²=2b²，
∴b=$\sqrt{2}$a，
∴c=$\sqrt{3}$a，
∴a：b：c=1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$；
（3）如图所示：根据题意得：F（k，1），E（2，$\frac{k}{2}$），
∵四边形ABCO是矩形，
∴∠OCF=∠B=∠OAB=90°，
∴OF²=1+k²，OE²=4+$\frac{{k}^{2}}{4}$，EF²=BF²+BE²=（2-k）²+（1-$\frac{k}{2}$）²=$\frac{5}{4}{k}^{2}$-5k+5；
分三种情况：①当OF²+OE²=4EF²时，1+k²+4+$\frac{{k}^{2}}{4}$=4（$\frac{5}{4}{k}^{2}$-5k+5），
解得：k=$\frac{8±2\sqrt{7}}{3}$；
②当OF²+EF²=4OE²时，1+k²+$\frac{5}{4}{k}^{2}$-5k+5=4（4+$\frac{{k}^{2}}{4}$），
解得：k=2±2$\sqrt{3}$（负值舍去），
∴k=2+2$\sqrt{3}$；
③当OE²+EF²=4OF²时，4+$\frac{{k}^{2}}{4}$+$\frac{5}{4}{k}^{2}$-5k+5=4（1+k²），
解得：k=-1±$\sqrt{3}$（负值舍去），
∴k=-1+$\sqrt{3}$；
综上所述：k的值为$\frac{8±2\sqrt{7}}{3}$，或2+2$\sqrt{3}$，或-1+$\sqrt{3}$．

点评 本题是反比例函数综合题目，考查了正三角形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、矩形的性质、一元二次方程的解法以及n阶三角形的定义等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，根据勾股定理列出方程，解方程才能得出结果．