Question

4．两艘巡逻艇同时从A港出发，如图所示，甲巡逻艇以$\frac{{16\sqrt{3}}}{5}$速度沿南偏西45°方向行进，乙巡逻艇以12km/h的速度沿南偏西75°方向行进4小时后，接到指挥中心指令，立即调整方向，沿南偏东75°方向以另一速度前进与直线行驶的甲巡逻艇在点C处相遇
（1）乙巡逻艇接到指令几个小时后与甲巡逻艇相遇？
（2）求乙巡逻艇调整方向后的行进速度．

Answer 1

分析 （1）过C点作CE⊥AB于点E，根据题意求得∠BAC=∠CBA=30°，根据等角对等边求得△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质得出AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=24km，解直角三角形求得AC=16$\sqrt{3}$cm，然后根据速度、路程和时间的关系即可求得与甲巡逻艇相遇时的时间；
（2）根据速度、路程和时间的关系即可求得．

解答 解：（1）过C点作CE⊥AB于点E，
由题意得，∠BAC=75°-45°=30°，∠CBA=15°+90°-75°=30°，
∴∠BAC=∠CBA，
∴CA=CB，
∵AB=12×4=48km，
∴AE=BE=24km，
在RT△AEC中，∠CAB=30°，
∴AC=$\frac{AE}{cos30°}$=16$\sqrt{3}$km，
∴$\frac{16\sqrt{3}}{\frac{16\sqrt{3}}{5}}$-4=1（h），
∴乙巡逻艇接到指令1小时后与甲巡逻艇相遇；
（2）∵BC=AC=16$\sqrt{3}$km，
∴$\frac{16\sqrt{3}}{1}$=16$\sqrt{3}$（km/h），
∴乙巡逻艇调整方向后的行进速度为16$\sqrt{3}$km/h．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．