Question

9．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于D，过D作⊙O的切线交CA的延长线于E，求证：DE∥AB．

Answer 1

分析 连接BD．根据直径所对的圆周角是90°，可知：∠ACB=90°，从而可求得∠ABD=∠ACD=∠DCB=45°由弦切角定理可知：∠CDE=∠CBA+45°，由三角形外角的性质可知∠CFA=∠CBA+45°，故此∠AFC=∠EDC，从而可证明AB∥ED．

解答 解：如图所示：连接BD．

∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCB=45°．
∴∠ABD=∠ACD=45°．
由弦切角定理可知：∠CDE=∠CBD=∠CBA+∠ABD=∠CBA+45°．
∵∠CFA=∠FCB+∠CBA=∠CBA+45°，
∴∠AFC=∠EDC．
∴AB∥ED．

点评 本题主要考查的是圆周角定理、弦切角定理的应用、角平分线的定义、三角形外角的性质，证得∠AFC=∠EDC是解题的关键．