Question

1．要求tan45°的值，可构造直角三角形进行计算，如图所示，作Rt△ABC，使∠C=90°，直角边AC=BC=1，斜边AB=$\sqrt{2}$．∠ABC=45°，所以tan45°=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{1}$=1．
（1）在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，可求出tan22.5°的值．请简要写出你添加的辅助线，并求出tan22.5°的值；
（2）仿照（1）求出tan15°的值．

Answer 1

分析 （1）延长CA到D，使DA=AC，连结DB，如图1，Rt△ABC，∠C=90°，AC=BC=1，AB=$\sqrt{2}$．∠ABC=45°，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠D=22.5°，然后在Rt△BDC中，根据正切的定义可求出tan22.5°的值；
（2）Rt△ABC，∠C=90°，AC=$\sqrt{3}$，BC=1，AB=2，∠BAC=30°，延长CA到D，使AD=AB=2，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠D=15°，然后在Rt△BDC中，根据正切的定义可求出tan15°的值．

解答 解：（1）延长CA到D，使DA=AC，连结DB，如图1，
Rt△ABC，∠C=90°，AC=BC=1，AB=$\sqrt{2}$．∠ABC=45°，
∵AD=AB=$\sqrt{2}$，
∴∠D=∠ABD，
而∠BAC=∠D+∠ABD=45°，
∴∠D=22.5°，
在Rt△BDC中，tanD=$\frac{BC}{DC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}$-1，
即tan22.5°=$\sqrt{2}$-1；
（2）Rt△ABC，∠C=90°，AC=$\sqrt{3}$，BC=1，AB=2，∠BAC=30°，延长CA到D，使AD=AB=2，
∵AD=AB=$\sqrt{2}$，
∴∠D=∠ABD，
而∠BAC=∠D+∠ABD=30°，
∴∠D=15°，
在Rt△BDC中，tanD=$\frac{BC}{DC}$=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$，
即tan15°=2-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决本题的关键是灵活运用勾股定理和锐角三角函数的定义．