Question

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax²+bx-4（a≠0）的图象与x轴交于A（-2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）分类讨论：当CD=DE时，当EC=DE时，当CD=CE时，根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²+bx-4（a≠0）的图象与x轴交于A（-2，0）、C（8，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b-4=0}\\{64a+8b-4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴该二次函数的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4；
（2）在线段BC上是存在点E，使得△CDE为等腰三角形，
由二次函数y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4可知对称轴x=3，
∴D（3，0）．
∵C（8，0），
∴CD=5．
由二次函数y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4可知B（0，-4）．
设BC的解析式为y=kx+b，
将B、C点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-4．
E在线段BC上，设E点坐标为（m，$\frac{1}{2}$m-4）．
①当CD=DE时，即（m-3）²+（$\frac{1}{2}$m-4）²=25，解得m₁=0，m₂=8（不符合题意舍去），
当m=0时，$\frac{1}{2}$m-4=-4，
∴E₁（0，-4）；
②当EC=DE时，（m-8）²+（$\frac{1}{2}$m-4）²=（m-3）²+（$\frac{1}{2}$m-4）²，解得m₃=$\frac{11}{2}$，
当m=$\frac{11}{2}$时，$\frac{1}{2}$m-4=$\frac{1}{2}$×$\frac{11}{2}$-4=-$\frac{5}{4}$，
∴E₂（$\frac{11}{2}$，-$\frac{5}{4}$）；
 ③当CD=CE时，（m-8）²+（$\frac{1}{2}$m-4）²=25，解得m₄=8+2$\sqrt{5}$，m₅=8-2$\sqrt{5}$（不符合题意舍），
当m=8+2$\sqrt{5}$时，$\frac{1}{2}$m-4=$\sqrt{5}$，即E₃（8+2$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）；
综上所述：所有符合条件的点E的坐标为E₁（0，-4）； E₂（$\frac{11}{2}$，-$\frac{5}{4}$）；E₃（8+2$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用等腰三角形的定义得出关于m的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．