Question

3．如图，在平面直角坐标系中，OA=OB=OC=8，过点A的直线AD交BC于点D，交y轴与点G，△ABD的面积为△ABC面积的$\frac{1}{4}$．
（1）求点D的坐标；
（2）过点C作CE⊥AD，交AB交于F，垂足为E．求证：OF=OG；
（3）若点F的坐标为（$\frac{8}{7}$，0），在第一象限内是否存在点P，使△CFP是以CF为腰长的等腰直角三角形？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点D作DH⊥AB．利用面积法求得：DH=2，设直线CB的解析式为y=kx+b，将点B、C的坐标代入可求得直线BC的解析式为y=-x+8，将y=2代入得；-x+8=2，解得x=6．从而得到点D的坐标为（6，2）；
（2）证明∠AOG=∠CEG，∠GAO=∠OCF，从而可得到Rt△AGO≌Rt△CFO，故此可得到OG=OF；
（3）如图2所示，过点P作PH⊥y轴，垂足为H．依据AAS证明Rt△HPC≌Rt△OFC，于是得到HC=OF=$\frac{8}{7}$，PH=OC=8，从而可求得点P的坐标为（8，9$\frac{1}{7}$）；如图3所示：过点P作PH⊥x轴，垂足为H．依据AAS证明Rt△HPF≌Rt△OFC，于是得到OC=FH=8，PH=OF=$\frac{8}{7}$，从而求得点P的坐标为（9$\frac{1}{7}$，$\frac{8}{7}$）．

解答 解：（1）如图1，过点D作DH⊥AB．

∵$\frac{1}{2}AB•OC=\frac{1}{2}AB•DH$，
∴$\frac{1}{2}×16×8=\frac{1}{2}×16×DH$．
∴DH=2．
设直线CB的解析式为y=kx+b，将点B、C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=8}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=8．
∴直线BC的解析式为y=-x+8．
将y=2代入得；-x+8=2．
解得x=6．
∴点D的坐标为（6，2）．
（2）∵CE⊥AD，CO⊥AO，
∴∠AOG=∠CEG．
又∵∠AGO=∠CGO，
∴∠GAO=∠OCF．
在Rt△AGO和Rt△CFO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOG=∠COF}\\{AO=CO}\\{∠OAG=∠OCF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AGO≌Rt△CFO．
∴OG=OF．
（3）如图2，过点P作PH⊥y轴，垂足为H．

∵△PCF为等腰直角三角形，
∴PC=CF，∠PCF=90°．
∴∠HCP+∠FCO=90°．
又∵∠OCF+∠OFC=90°，
∴∠HCP=∠COF．
在Rt△HPC和Rt△OFC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PHC=∠COF}\\{∠HCP=∠OFC}\\{PC=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△HPC≌Rt△OFC．
∴HC=OF=$\frac{8}{7}$，PH=OC=8．
∴点P的纵坐标=8+$\frac{8}{7}$=$9\frac{1}{7}$．
∴点P的坐标为（8，9$\frac{1}{7}$）．
如图3所示：过点P作PH⊥x轴，垂足为H．

∵△PCF为等腰直角三角形，
∴PC=CF，∠CFP=90°．
∴∠PFH+∠OFC=90°．
又∵∠HFP+∠FPH=90°，
∴∠OHC=∠FPH．
在Rt△HPF和Rt△OFC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OHC=∠FPH}\\{∠PHF=∠FOC}\\{CF=FP}\end{array}\right.$，
∴Rt△HPF≌Rt△OFC．
∴OC=FH=8，PH=OF=$\frac{8}{7}$．
∴点P的横坐标=8+$\frac{8}{7}$=9$\frac{1}{7}$．
∴点P的坐标为（9$\frac{1}{7}$，$\frac{8}{7}$）．

点评 本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质、待定系数法求一次函数的解析式，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．