Question

16．已知：如图，直线y=-x+4分别交x轴、y轴于A、B点，将△AOB折叠，使A点恰好落在OB的中点C处，折痕为DE．
（1）求AE的长及sin∠BEC的值；
（2）求△BCE的面积．

Answer 1

分析 （1）作CF⊥BE于F点，由函数解析式可得点B（0，4），点A（4，0），∠A=∠B=45°，设AE=CE=x，表示出EF、CF，然后在Rt△CEF中利用勾股定理可求出x，继而可得出答案．
（2）直接利用S_△BCE=$\frac{1}{2}$BE•CF求出答案即可．

解答 解：如图1，作CF⊥BE于F点，由函数解析式可得点B（0，4），点A（4，0），∠A=∠B=45°，

又∵点C是OB中点，
∴OC=BC=2，CF=BF=$\sqrt{2}$，
设AE=CE=x，则EF=AB-BF-AE=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$-x，
在RT△CEF中，CE²=CF²+EF²，即x²=（3$\sqrt{2}$-x）²+（$\sqrt{2}$）²，
解得：x=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$，
故可得sin∠BEC=$\frac{CF}{CE}$=$\frac{3}{5}$，AE=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$；

（2）则S_△BCE=$\frac{1}{2}$BE•CF=$\frac{1}{2}$×（AB-AE）×CF=$\frac{1}{2}$×$\frac{7\sqrt{2}}{3}$×$\sqrt{2}$=$\frac{7}{3}$．

点评 本题考查了一次函数的综合题，涉及了三角函数、勾股定理、翻折变换的性质及三角形的面积，解答本题的关键是利用勾股定理求出AE的长，此题三角形的面积可以表示为$\frac{1}{2}$absin∠C，（其中∠C是边a、b的夹角）．