Question

如图，在⊙O中，M是弦AB定的中点，过点B作⊙O的切线，与OM延长线交于点C．
（1）求证：∠A=∠C；
（2）若OA=5，AB=8，求线段OC的长．

Answer 1

如右图所示，
（1）证明：连接OB，
∵BC是切线，
∴∠OBC=90°，
∴∠OBM+∠CBM=90°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBM，
∵M是AB的中点，
∴OM⊥AB．
∴∠C+∠CBM=90°，
∴∠C=∠OBM，
∴∠A=∠C；

（2）解：∵∠C=∠OBM，∠OBC=∠OMB=90°，
∴△OMB∽△OBC，
∴，
又∵BM=AB=4，
∴OM==3，
∴OC=．
分析：（1）由于OA=OB，可知∠A=∠OBM，又M是AB中点，利用等腰三角形三线合一定理可知OC⊥AB，即可得∠C+∠CBM=90°，而BC是切线可得∠OBM+∠CBM=90°，即∠A+∠CBM=90°，利用等角的余角相等可得∠A=∠C；
（2）由（1）得∠C=∠OBM，∠OBC=∠OMB=90°，易证△OMB∽△OBC，即可得OB：OC=OM：OB，而BM=AB=4，根据勾股定理可求OM，进而可求OC．
点评：本题考查了切线的性质、等腰三角形三线合一定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是连接OB，构造直角三角形．