Question

已知：如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD的中点，连接BE并延长到点F，使EF=BE，连接AF、CF．
（1）试说明ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，并说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）首先连接DF，根据条件可得AE=ED，再有BE=EF可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可得到四边形ABDF是平行四边形，进而可得AF∥BD，AF=DB，再证明AF=DC可得
四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC中AB=AC时四边形ADCF是矩形，根据等腰三角形的性质可得AD⊥CB，继而得到∠ADC=90°，则四边形ADCF是矩形．

解答：证明：（1）连接DF，
∵E是AD的中点，
∴AE=ED，
∵BE=EF，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AF∥BD，AF=DB，
∵D是BC边的中点，
∴BD=CD，
∴CD=AF，
∴四边形ADCF是平行四边形；

（2）当△ABC中AB=AC时四边形ADCF是矩形，
∵AB=AC，D是BC边的中点，
∴AD⊥CB，
∴∠ADC=90°，
∵四边形ADCF是平行四边形；
∴四边形ADCF是矩形．

点评：此题主要考查了平行四边形的判定，以及矩形的判定，关键是掌握矩形的判定定理与平行四边形的判定定理．