Question

已知：如图，在△ABC中，∠C=120°，边AC的垂直平分线DE与AC、AB分别交于点D和点E．
（1）作出边AC的垂直平分线DE；
（2）当AE=BC时，求∠A的度数．

Answer 1

分析：（1）分别以点A、C为圆心，以大于

1

2

AC长度为半径画弧，两弧在AC两边相交于，然后过这两点作直线DE即可；
（2）连接CE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=CE，设∠A=x，然后根据等边对等角的性质以及等腰三角形两底角相等表示出∠ACB，然后列出方程求解即可．

解答：解：（1）如图所示，DE即为所求作的边AC的垂直平分线；

（2）如图，连接CE，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴∠A=∠ACE，
∵AE=BC，
∴CE=BC，
∴∠B=∠CEB，
设∠A=x，
则∠CEB=∠A+∠ACE=x+x=2x，
在△BCE中，∠BCE=180°-2×2x=180°-4x，
∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=x+180°-4x=120°，
解得x=20°，
即∠A=20°．

点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，线段垂直平分线的作法，难度中等，熟记性质是解题的关键．