Question

9．如图，在△ABC中，∠B=90°，以AB为直径的⊙O交AC于D，过点D作⊙O的切线交BC于E，AE交⊙O于点F．
（1）求证：E是BC的中点；
（2）求证：AD•AC=AE•AF=4DO²．

Answer 1

分析 （1）要想证明E是BC的中点，只要证明CE=BE即可，根据已知条件可以得到DE=EC，DE=BE，从而本题得以解决；
（2）根据题意可知AB=2OD，只要证明AD•AC=AE•AF=AB²即可，然后根据三角形相似可以证明结论成立，本题得以解决．

解答 （1）证明：连接BD，如右图所示，
∵AB是⊙O的直径，
∴BD⊥AC，
又∵∠ABC=90°，
∴CB切⊙O于点B，且ED且⊙O于点E，
∴EB=ED，
∴∠EBD=∠EDB，∠CDE+∠EDB=90°=∠EBD+∠C，
∴∠CDE=∠C，
∴ED=EC，
∴EB=EC，
即点E是BC的中点；
（2）证明：∵AB=2OD，
∴AB²=4OD²，
连接BF，由由上图所示，
∵AB是⊙O的直径，
∴BF⊥AE，
∴△ABE∽△AFB，
∴$\frac{AB}{AF}=\frac{AE}{AB}$，
∴AB²=AE•AF，
同理可得，AB²=AD•AC，
∴AB²=AD•AC=AE•AF，
即AD•AC=AE•AF=4DO²．

点评 本题考查切线的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．