Question

已知抛物线y=-x²-（2m+2）x-（m²+4m-3）与y轴交于点C，与x轴的两个交点A（x₁，0），B（1，0）在原点的两旁．
（1）求m的值及抛物线的顶点P的坐标；
（2）设过A、B、C三点的圆O′与直线y=-x-3交于点E．
①试判断△BCE的形状，并证明你的结论；
②求△ACE的面积．

Answer 1

解：（1）∵B（1，0）在抛物线y=-x²-（2m+2）x-（m²+4m-3）上，
∴0=-1-2m-2-m²-4m+3，
解得m=0或-6，
当m=-6时，抛物线y=-x²+10x-9，此时A、B两点在原点一侧，
∴m=0，
∴抛物线y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴抛物线的顶点坐标P（-1，4）；

（2）①由题意可知圆心O′在线段AB的垂直平分线上，
又知AB的垂直平分线是抛物线的对称轴，
故可设O′坐标为（-1，y），C点坐标为（0，3），B点坐标为（1，0），
∵O′A=O′B，
∴1+（y-3）²=4+y²，
解得y=1，
∴圆心O′坐标为（-1，1），
∴圆的方程为（x+1）²+（y-1）²=5，
又∵圆O′与直线y=-x-3交于点E，
∴，
解得x₁=-3，x₂=-2，
∴E点坐标为（-2，-1），
∴设直线CE的方程为y=kx+b，
∴，
解得k=2，
∴直线CE方程为y=2x-3，
∵点O′坐标为（-1，1），
∴该点在直线CE上，
∴C、O′E三点共线，
∴CE为⊙O′的直径，
∴∠CBE=90°，
∴△BCE为直角三角形；
②∵CE是⊙O′直径，
∴∠CAE是直角，
AE==，AC==3，
∴S△ACE=AE•AC=××3=3．
分析：（1）把B点（1，0）代入抛物线y=-x²-（2m+2）x-（m²+4m-3）解出m的值，然后根据A、B两点在原点两旁判断出m的值．
（2）①由题意可知圆心O′在线段AB的垂直平分线上，又知AB的垂直平分线是抛物线的对称轴，故可设O′坐标为（-1，y），C点坐标为（0，3），B点坐标为（1，0），求出O′的坐标，进而求出圆的半径，联立直线y=-x-3与圆方程求出E点的坐标，再证明CE是圆的直径，进而判断出△BCE的形状；
②由CE是直径，可知∠CAE是直角，然后根据两点间距离公式求出AC和AE的长，再根据直角三角形面积公式求出△ACE的面积．
点评：本题主要考查二次函数的知识点，涉及了圆方程的求法，三角形形状的判断，三角形面积的求解，此题综合性较大，此题难度也较大，特别是（2）问需要熟练掌握直线与圆的相关知识．