Question

20．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx-2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿抛物线的对称轴向下运动，连OM，BM，设运动时间为t秒（t=0），在点M的运动过程中，当∠OMB=90°时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）把A（1，0）、B（3，0）代入y=ax²+bx-2，即可得到结果；
（2）由y=$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-2=$\frac{2}{3}$（x-2）²+$\frac{2}{3}$，得到D（2，$\frac{2}{3}$），设M（2，m），根据勾股定理列方程得到M（2，-$\sqrt{2}$），于是得到结论．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=a+b-2}\\{0=9a+3b-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-2；
（2）∵y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-2=-$\frac{2}{3}$（x-2）²+$\frac{2}{3}$，
∴D（2，$\frac{2}{3}$），
设M（2，m），
∵O（　　），0），B（3，0），
∵∠OMB=90°，
∴OM²+BM²=OB²，
即m²+2²+（3-2）²+m²=9，
∴m=$±\sqrt{2}$，
∵$\sqrt{2}$＞$\frac{2}{3}$，
∴M（2，-$\sqrt{2}$），
∴DM=$\sqrt{2}$+$\frac{2}{3}$，
∴t=$\sqrt{2}$+$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、抛物线与x轴的交点，解题的关键是理解函数的图象与图象上点的坐标之间的关系．