Question

某商场购进一批单价为50元的商品，规定销售时单价不低于进价，每件的利润不超过40％.其中销售量y(件)与所售单价x(元)的关系可以近似的看作如图所表示的一次函数.

（1）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）设该公司获得的总利润(总利润＝总销售额－总成本)为w元，求w与x之间的函数关系式.当销售单价为何值时，所获利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

（1）y＝－10x＋1000，50≤x≤70；（2）w＝－10(x－75)²＋6250，x＝70，利润最大为6000元

解析试题分析：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，根据待定系数法即可求得结果；
（2）先根据总利润＝总销售额－总成本列出w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质即得结果.
（1）最高销售单价为50(1＋40%)＝70(元)
根据题意设y与x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)
∵ 函数图象经过点(60，400)和(70，300)，
∴ 解得
∴y与x之间的函数关系式为y＝－10x＋1000，x的取值范围是50≤x≤70；
（2）由题意得w＝(x－50)(－10x＋1000)－10x²＋1500x－50000＝－10(x－75)²＋6250
∵a＝－10 ，
∴抛物线开口向下.
又∵ 对称轴是x＝75，自变量x的取值范围是50≤x≤70，
∴y随x的增大而增大
∴ 当x＝70时，w最大值＝－10(70－75)²＋6250＝6000(元).
∴ 当销售单价为70元时，所获得利润有最大值为6000元
考点：二次函数的应用
点评：本题知识点多，综合性强，难度较大，一般是中考压轴题，主要考查学生对二次函数的性质的熟练掌握情况.