Question

12．一般地，函数y=x^α叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数，一次函数，二次函数都是特殊的幂函数，当α为3时，y=x³的图象如图所示，则下列说法中：
①y随x的增大而增大；
②当x＜0时，y＜0；
③若点（a，b）在y=x³的图象上，则（-a，-b）也一定在它的图象上；
④若点（x₁，y₁），（x₂，y₂），（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₃）都在y=x³的图象上（x₁x₂＞0），则有$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$≤y₃．
正确的有：①②③（填序号）

Answer 1

分析 ①②根据函数图象即可得出①②成立；③根据点（a，b）在y=x³的图象上，可找出b=a³，进而可得出-b=（-a）³，由此可得出③成立；④在图中作直线y=x，求出直线与幂函数图象的交点坐标，结合图象可得出当x₁＜-1且x₂＜-1（或0＜x₁＜1且0＜x₂＜1）时，一次函数y=x的函数图象在幂函数y=x³的图象上方，进而可得出$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$＞y₃，④不成立．综上即可得出结论．

解答 解：观察函数图象可得出：①y随x的增大而增大，①正确；②当x＜0时，y＜0，②正确；
③∵点（a，b）在y=x³的图象上，
∴b=a³，-b=-a³=（-a）³，
∴（-a，-b）在y=x³的图象上，③正确；
④在图中作直线y=x，如图所示．
联立直线与幂函数解析式成方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{3}}\\{y=x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=0}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=1}\\{{y}_{3}=1}\end{array}\right.$．
∵x₁x₂＞0，
∴x₁、x₂同号，
∴当x₁＜-1且x₂＜-1（或0＜x₁＜1且0＜x₂＜1）时，一次函数y=x的函数图象在幂函数y=x³的图象上方，
∴此时有$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$＞y₃．④不成立．
故答案为：①②③．

点评 本题考查了高次函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．