Question

1．如图，AB是⊙O的直径，且AB=10，弦CD⊥AB于点E，G是一动点，连结AD，AG，GD，BC．
（1）若BE=2，求弦CD的长；
（2）若G是$\widehat{AC}$上任意一动点，请找出图中和∠G相等的角（不在原图中添加线段或字母），并说明理由；
（3）若G是⊙O及⊙O内的任意一动点，请在图中画出使△ADG和△CEB相似的所有点G．

Answer 1

分析 （　　）1）如图1中，连接AC、BC．根据相交弦定理以及垂径定理可得，AE•EB=EC•ED，EC²=8×2=16，由此即可解决问题．
（2）结论：∠ADC=∠AGD．因为AB垂直平分CD，推出AC=AD，推出∠ACD=∠ADC，由∠AGC=∠ACD，即可证明．
（3）根据题意以及相似三角形的条件即可画出点G．

解答 解：（1）如图1中，连接AC、BC．

∵AB是直接，
∴∠ACB=90°，
∵AB⊥BC，
∴EC=ED，∠AEC=∠CEB=90°，
∵AE•EB=EC•ED，
∴EC²=8×2=16，
∴EC=4，
∴CD=2EC=8．

（2）结论：∠ADC=∠AGD．
理由：∵AB垂直平分CD，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∵∠AGC=∠ACD，
∴∠ADC=∠AGD．

（3）如图2中，满足条件的点G有三个，如图所示．

点评 本题考查圆综合题、相交弦定理、相似三角形的判定和性质、垂径定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，考虑问题要全面，不能漏解，属于中考常考题型．