Question

如图，已知点M（，0），N（0，6），经过M、N两点的直线 l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，分别交x轴、y轴于A、B两点，与此同时，点P从点N出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方作匀速运动，设它们运动的时间为t秒．
（1）∠OMN=______（直接写出结果）；
（2）用含t的代数式表示点P的坐标；
（3）过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥x轴于D，问：t为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时圆P与直线CD的位置关系．

Answer 1

解：（1）由已知点M（，0），N（0，6），经过M、N两点的直线可得：
∠OMN=30°，
故答案为：30°．

（2）作PF⊥y轴于F．
∵M（，0），N（0，6），
∴∠NMO=30°，
∴∠BAO=30°．
在直角三角形PFB中，PB=t，∠BPF=30°，
则BF=，PF=t．
又∵NB=t，
∴OF=ON-NB-BF=6-t-=6-t，
则P点的坐标为（ t，6-t）．

（3）此题应分为两种情况：
①当⊙P和OC第一次相切时，
设直线BP与OC的交点是G．
根据题意，知∠BOC=∠BAO=30°．
则BC=OB=3-，
则PG=3-t．
根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得
3-t=1，t=．
此时⊙P与直线CD显然相离；
②当⊙P和OC第二次相切时，
则有 t-3=1，t=．
此时⊙P与直线CD显然相交．
答：当t=或 时⊙P和OC相切，t=时⊙P和直线CD相离，当t=时⊙P和直线CD相交．
分析：（1）由已知点M（，0），N（0，6），经过M、N两点的直线，利用直角三角形可求出∠OMN；
（2）过点P向y轴引垂线．根据已知点A、B的坐标可以求得∠BAO=30°，从而可以结合题意，利用解直角三角形的知识进行求解；
（3）此题应分作两种情况考虑：
①当P位于OC左侧，⊙P与OC第一次相切时，易证得∠COB=∠BAO=30°，设直线l与OC的交点为G，根据∠BOC的度数，即可求得BG、PG的表达式，而此时⊙P与OC相切，可得PM=1，由此可列出关于t的方程，求得t的值，进而可判断出⊙P与CD的位置关系；
点评：此题考查的知识点是一次函数综合题，综合考查了解直角三角形、直线和圆的位置关系等知识的综合应用能力，难度较大．