Question

18．（1）计算：2cos45°+（π-2012）⁰-（$\frac{1}{3}$）^-1-|-$\sqrt{2}$|．
（2）解方程：$\frac{3x}{x+1}$-$\frac{1}{x-1}$=1．
（3）如果关于x的一元二次方程ax²-3x+1=0有两个实数根，求a的取值范围及a的非负整数值．

Answer 1

分析 （1）根据cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$、任何数的0次方为1、负整数指数幂以及绝对值，即可得出原式的值；
（2）根据解分式方程的方程及步骤，一步步解方程即可得出结论；
（3）根据一元二次方程的定义即可得出a≠0，由方程有实数根结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再取其内的非负整数即可．

解答 解：（1）原式=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1-3-$\sqrt{2}$=-2；
（2）去分母，得3x（x-1）-（x+1）=（x+1）（x-1），
去括号，得3x²-3x-x-1=x²-1，
移项、合并同类项，得2x²-4x=2x（x-2）=0，
解得：x₁=0，x₂=2，
经检验，x₁=0，x₂=2是原方程的解．
（3）∵方程ax²-3x+1=0为一元二次方程，
∴a≠0．
∵方程ax²-3x+1=0有两个实数根，
∴△=（-3）²-4a=9-4a≥0，
解得：a≤$\frac{9}{4}$．
∴a≤$\frac{9}{4}$且a≠0，
∴a=1，2．
答：a的取值范围为a≤$\frac{9}{4}$且a≠0，a的非负整数值为1和2．

点评 本题考查了根的判别式、解分式方程、实数的运算、零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值，解题的关键是：（1）将cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$、（π-2012）⁰=1、（$\frac{1}{3}$）^-1=3、|-$\sqrt{2}$|=$\sqrt{2}$代入算式之中；（2）熟练掌握解分式方程的方法及步骤；（3）由根的判别式找出关于a的一元一次不等式．