Question

6．如图1，菱形ABCD中，AB=10，连接BD，tan∠ABD=$\frac{1}{2}$，若P是射线BC上的一个动点（点P不与点B重合），连接AP，与对角线相交于点E，连接EC．
（1）求证：AE=CE；
（2）当点P在线段BC上时，设BP=x，S_△EPC=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）当点P在线段BC的延长线上时，若△EPC是直角三角形，求线段BP的长．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质得出BA=BC，∠ABD=∠CBD．由SAS证明△ABE≌△CBE，即可得出结论．
（2）联结AC，交BD于点O，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EF⊥BC于F，由菱形的性质得出AC⊥BD．由三角函数求出AO=OC=2$\sqrt{5}$，BO=OD=4$\sqrt{5}$．由菱形面积得出AH=8，BH=6．由相似三角形的性质得出比例式，求出EF的长，即可得出答案；
（3）因为点P在线段BC的延长线上，所以∠EPC不可能为直角．分情况讨论：
①当∠ECP=90°时，②当∠CEP=90°时，由全等三角形的性质和相似三角形的性质即可得出答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，∠ABE=∠CBE．
在△ABE和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}&{\;}\\{∠ABE=∠CBE}&{\;}\\{BE=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
又∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE
∴AE=CE．

（2）解：连接AC，交BD于点O，过点A作AH⊥BC，过点E作EF⊥BC，如图1所示：
垂足分别为点H、F．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∵AB=10，tan∠ABD=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{1}{2}$，
∴AO=OC=2$\sqrt{5}$，BO=OD=4$\sqrt{5}$，AC=4$\sqrt{5}$，BD=8$\sqrt{5}$，
∵$\frac{1}{2}$AC•BD=BC•AH，
∴AH=8，∴BH=$\sqrt{A{B}^{2}-A{H}^{2}}$=6．
∵AD∥BC，∵AD∥BC，
∴$\frac{AE}{EP}=\frac{AD}{BP}$，
∴$\frac{AE+EP}{EP}=\frac{AD+BP}{BP}$，
∴$\frac{AP}{EP}$=$\frac{10+x}{x}$，
∴$\frac{EP}{AP}$=$\frac{10+x}{x}$．
∵EF∥AH，
∴$\frac{EF}{AH}=\frac{EP}{AP}$，
∴EF=$\frac{8x}{10+x}$．
∴y=$\frac{1}{2}$PC′EF=$\frac{1}{2}$（10-x）•$\frac{8x}{10+x}$=$\frac{20x-4{x}^{2}}{10+x}$，
即y═$\frac{20x-4{x}^{2}}{10+x}$，（0＜x＜10）．

（3）解：因为点P在线段BC的延长线上，所以∠EPC不可能为直角．如图2所示：
①当∠ECP=90°时
∵△ABE≌△CBE，
∴∠BAE=∠BCE=90°，
∵cos∠ABP=$\frac{AB}{BP}$=$\frac{BH}{AB}$，即$\frac{10}{BP}=\frac{3}{5}$
∴BP=$\frac{50}{3}$．
②当∠CEP=90°时，
∵△ABE≌△CBE，
∴∠AEB=∠CEB=45°，
∴AO=OE=2$\sqrt{5}$，
∴ED=2$\sqrt{5}$，BE=6$\sqrt{5}$．
∵AD∥BP，
∴$\frac{AD}{BP}=\frac{DE}{BE}$，
∴$\frac{10}{BP}=\frac{2\sqrt{5}}{6\sqrt{5}}$，
∴BP=30．
综上所述，当△EPC是直角三角形时，线段BP的长为$\frac{50}{3}$或30．

点评 本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、勾股定理、三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．