Question

【题目】如图，在ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．

（1）根据条件与作图信息知四边形ABEF是　 　

A．非特殊的平行四边形

B．矩形

C．菱形

D．正方形

（2）设AE与BF相交于点O，四边形ABEF的周长为16，BF=4，求AE的长和∠C的度数．

Answer 1

【答案】（1）C；（2）60°

【解析】

（1）根据作图与已知条件确定出四边形ABEF的形状即可；

（2）利用两项的性质求出BE的长，利用勾股定理求出OE的长，继而求出AE的长，得到三角形BEF为等边三角形，再利用平行四边形的性质即可求出所求．

（1）根据条件与作图信息知四边形ABEF是菱形，

故选C；

（2）∵四边形ABEF是菱形，

∴AE⊥BF，OB=OF，

∵BF=4，

∴

∵四边形ABEF的周长为16，

∴BE=4，

在Rt△OBE中，根据勾股定理得：

∴

∵BE=BF=EF=4，

∴△BEF是等边三角形，

∴∠FEB=60°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥EF，

∵AB∥CD，

∴CD∥EF，

∴∠C=∠BEF=60°．