Question

【题目】（新知学习）

如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么我们就把这样的三角形叫做“智慧三角形”．

（简单运用）

（1）下列三个三角形，是智慧三角形的是______（填序号）；

（2）如图，已知等边三角形，请用刻度尺在该三角形边上找出所有满足条件的点，使为“智慧三角形”，并写出作法；

（深入探究）

（3）如图，在正方形中，点是的中点，是上一点，且，试判断是否为“智慧三角形”，并说明理由；

（灵活应用）

（4）如图，等边三角形边长．若动点以的速度从点出发，沿的边运动．若另一动点以的速度从点出发，沿边运动，两点同时出发，当点首次回到点时，两点同时停止运动．设运动时间为，那么为______时，为“智慧三角形”．

Answer 1

【答案】（1）①；（2）详见解析；（3）是“智慧三角形”，理由详见解析；（4）1，，，7

【解析】

（1）根据直角三角形斜边中线的性质即可判断；

（2）用刻度尺分别量取AC、BC的中点D、D'，点D、D'即为所求；

（3）结论：△AEF是“智慧三角形”．利用勾股定理的逆定理证明△AEF是直角三角形即可；

（4）分当点P在线段AB上，点Q在线段BC上时和点P在线段BC上，点Q在线段AB上两种情形分别构建方程求解即可．

（1）因为直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，所以①是“智慧三角形”．

故答案为：①．

（2）用刻度尺分别量取AC、BC的中点D、D'．

点D、D'即为所求．

（3）结论：△AEF是“智慧三角形“．

理由如下：如图，设正方形的边长为4a．

∵E是BC的中点，∴BE=EC=2a．

∵CFCD，∴FC=a，DF=4a﹣a=3a，

在Rt△ABE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2

在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2

在Rt△ADF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，∠AEF=90°．

∵直角三角形斜边AF上的中线等于AF的一半，∴△AEF为“智慧三角形”．

（4）如图3中，

①当点P在线段AB上，点Q在线段BC上时，若∠PQB=90°，则BP=2BQ，∴5﹣t=4t，

解得：t=1．

若∠BPQ=90°，则BQ=2PB，∴2t=2（5﹣t），∴t．

②当点P在线段BC上，点Q在线段AB上时，若∠PQB=90°，则BP=2BQ，∴t﹣5=2（15﹣2t），∴t=7，

若∠QPB=90°，则BQ=2PB，∴15﹣2t=2（t﹣5），∴t，

综上所述：满足条件的t的值为1或或或7．

故答案为：1或或或7．