【题目】(新知学习)
如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半,那么我们就把这样的三角形叫做“智慧三角形”.
(简单运用)
(1)下列三个三角形,是智慧三角形的是______(填序号);
(2)如图,已知等边三角形,请用刻度尺在该三角形边上找出所有满足条件的点
,使
为“智慧三角形”,并写出作法;
(深入探究)
(3)如图,在正方形中,点
是
的中点,
是
上一点,且
,试判断
是否为“智慧三角形”,并说明理由;
(灵活应用)
(4)如图,等边三角形边长
.若动点
以
的速度从点
出发,沿
的边
运动.若另一动点
以
的速度从点
出发,沿边
运动,两点同时出发,当点
首次回到点
时,两点同时停止运动.设运动时间为
,那么
为______
时,
为“智慧三角形”.
【答案】(1)①;(2)详见解析;(3)是“智慧三角形”,理由详见解析;(4)1,
,
,7
【解析】
(1)根据直角三角形斜边中线的性质即可判断;
(2)用刻度尺分别量取AC、BC的中点D、D',点D、D'即为所求;
(3)结论:△AEF是“智慧三角形”.利用勾股定理的逆定理证明△AEF是直角三角形即可;
(4)分当点P在线段AB上,点Q在线段BC上时和点P在线段BC上,点Q在线段AB上两种情形分别构建方程求解即可.
(1)因为直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半,所以①是“智慧三角形”.
故答案为:①.
(2)用刻度尺分别量取AC、BC的中点D、D'.
点D、D'即为所求.
(3)结论:△AEF是“智慧三角形“.
理由如下:如图,设正方形的边长为4a.
∵E是BC的中点,∴BE=EC=2a.
∵CFCD,∴FC=a,DF=4a﹣a=3a,
在Rt△ABE中,AE2=(4a)2+(2a)2=20a2
在Rt△ECF中,EF2=(2a)2+a2=5a2
在Rt△ADF中,AF2=(4a)2+(3a)2=25a2,∴AE2+EF2=AF2,∴△AEF是直角三角形,∠AEF=90°.
∵直角三角形斜边AF上的中线等于AF的一半,∴△AEF为“智慧三角形”.
(4)如图3中,
①当点P在线段AB上,点Q在线段BC上时,若∠PQB=90°,则BP=2BQ,∴5﹣t=4t,
解得:t=1.
若∠BPQ=90°,则BQ=2PB,∴2t=2(5﹣t),∴t.
②当点P在线段BC上,点Q在线段AB上时,若∠PQB=90°,则BP=2BQ,∴t﹣5=2(15﹣2t),∴t=7,
若∠QPB=90°,则BQ=2PB,∴15﹣2t=2(t﹣5),∴t,
综上所述:满足条件的t的值为1或或
或7.
故答案为:1或或
或7.
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【题目】如图,已知函数y=x+2的图象与y轴交于点A,一次函数y=kx+b的图象经过点B(0,4)且与x轴及y=x+2的图象分别交于点C、D,点D的坐标为(,n)
(1)则n= ,k= ,b=_______.
(2)若函数y=kx+b的函数值大于函数y=x+2的函数值,则x的取值范围是_______.
(3)求四边形AOCD的面积.
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【题目】两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,B,C,E在同一条直线上,连结DC.
(1)求证:△ABE≌△ACD;
(2)求证:DC⊥BE.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与
轴的交点为
,与
轴的交点分别为
,
,且
,直线
轴,在
轴上有一动点
过点
作平行于
轴的直线
与抛物线、直线
的交点分别为
、
.
求抛物线的解析式;
当
时,求
面积的最大值;
当
时,是否存在点
,使以
、
、
为顶点的三角形与
相似?若存在,求出此时
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图是小李骑自行车离家的距离与时间
之间的关系.
(1)在这个变化过程中自变量是______,因变量是______;
(2)小李何时到达离家最远的地方?此时离家多远?
(3)请直接写出小李何时与家相距?
(4)求出小李这次出行的平均速度.
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【题目】如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律,如:第三行的三个数(1、2、1)恰好对应着(a+b)2的展开式a2+2ab+b2的系数;第四行的四个数恰好对应着(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的系数,根据数表中前五行的数字所反映的规律,回答:
(1)图中第六行括号里的数字分别是 ;(请按从左到右的顺序填写)
(2)(a+b)4= ;
(3)利用上面的规律计算求值:()4﹣4×(
)3+6×(
)2﹣4×
+1.
(4)若(2x﹣1)2018=a1x2018+a2x2017+a3x2016+……+a2017x2+a2018x+a2019,求a1+a2+a3+……+a2017+a2018的值.
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【题目】如图,在ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B,F为圆心,大于BF的长为半径画弧,两弧交于一点P,连接AP并延长交BC于点E,连接EF.
(1)根据条件与作图信息知四边形ABEF是
A.非特殊的平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
(2)设AE与BF相交于点O,四边形ABEF的周长为16,BF=4,求AE的长和∠C的度数.
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【题目】如图,一次函数y=(m-1)x+3的图像与x轴的负半轴相交于点A,与y轴相交于点B,且△OAB面积为.
(1)求m的值及点A的坐标;
(2)过点B作直线BP与x轴的正半轴相交于点P,且OP=2OA,求直线BP的函数表达式 .
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【题目】如图,有一圆柱,其高为12cm,它的底面半径为3cm,在圆柱下底面A处有一只蚂蚁,它想得到上面B处的食物,则蚂蚁经过的最短距离为_________.(π取3)
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